高数《微积分》(第三版)教学课件 5.1不定积分的概念.pptVIP

首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 一、原函数 二、不定积分 三、不定积分的几何意义 §5.1 不定积分的概念 一、原函数 例1? 如果已知物体的运动方程为s?f(t)? 则此物体的速度 是距离s对时间t的导数? 一个相反问题是? 已知物体运动的速度v是时间t的函数 v?v(t)? 求物体的运动方程s?f(t)? 使它的导数f ?(t)等于已知函数 v(t)? 例2? 如果已知某产品的产量P是时间t的函数P?P(t)? 则该 产品产量的变化率是产量对时间t的导数P??P?(t)? 一个相反问题是? 已知某产量的变化率是时间t的函数 P?(t)? 求该产品的产量函数P(t)? 定义5?1(原函数) 设f(x)是定义在某区间上的已知函数? 如果存在一个函数 F(x)? 对于该区间上每一点都满足 F ?(x)?f(x)? 或dF(x)?f(x)dx? 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数? 例3? 在区间(??, ??)内? 已知函数f(x)?2x? 由于函数F(x)?x2满足 F ?(x)?(x2)??2x? 同理? x2?1? x2?C(C是常数)都是2x的原函数? 所以F(x)?x2是f(x)?2x的一个原函数? 例4? 在[0? T]上? 已知函数v?gt(g是常数)? 定义5?1(原函数) 设f(x)是定义在某区间上的已知函数? 如果存在一个函数F(x)? 对于该区间上每一点都满足 F ?(x)?f(x)? 或dF(x)?f(x)dx? 则称函数F(x)是已知函数f(x)在该区间上的一个原函数? 问题： (1)一个函数的原函数是否存在？ (2) 如果原函数存在,是否唯一？ 因此初等函数在其定义域内都有原函数 . 原函数存在定理： 简言之：连续函数一定有原函数. 唯一性？ . ) ( ) ( C x F x G = - 所以 二、不定积分 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分? 记作 根据定义? 如果F(x)是f(x)的一个原函数? 则 其中C是任意常数? 称为积分常数? 定义5?2(不定积分) 二、不定积分 函数f(x)的所有原函数称为f(x)的不定积分? 如果F(x)是f(x)的一个原函数? 则f(x)的不定积分为 定义5?2(不定积分) 解? 例5? 求函数f(x)?3x2的不定积分? 因为 (x3)??3x2? 解? 合并上面两式? 得到 三、不定积分的几何意义 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线? 因为函数f(x)的原函数有无限多个? 所以函数f(x)的积分曲 线也有无限多条? 函数f(x)的不定积分表示f(x)的一簇积分曲线? 而f(x)正是 积分曲线的斜率? 例7? 求经过点(1, 3)? 且其切线 的斜率为2x的曲线方程? y?x2?C? 就是所求曲线? y?x2?2? 所以 得C?2? 将x?1? y?3代入上式? 作业: p222 3, 5 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件 首页 上一页 下一页 结束 《微积分》 (第三版) 教学课件