天津版七年级下数学学习笔记.doc

第五章　实　数 5.1 平方根 Ⅰ学法导引 1．学习本节知识前必须先复习平方运算的有关内容．因为平方根的意义正好与平方的意义相反，平方运算是学好本节内容的基础． 2．学习过程中，要注重师生之间，同学之间的交流、合作．通过讨论，归纳出平方根和算术平方根的区别和联系．同时还应注意算术平方根的定义中的非负性． Ⅱ 要点精讲 1　重点：平方根与算术平方根的概念． 如果一个数的平方等于a，这个数就叫做a的平方根（或二次方根），就是说，如果x2＝a，那么x就叫做a的平方根． 正数a有两个平方根，其中正数a的正的平方根，也叫做a的算术平方根． 2　难点：对平方根、算术平方根的意义的理解． 在x2＝a中，a是x的平方，x是a的平方根；a是一个非负数； 3　易错点：1．平方根、算术平方根两概念混淆； 3．对平方根运算中的符号处理不当． Ⅲ　精典例题 解析重点 【例1】求下列各数的平方根和算术平方根： 解析　开平方运算与平方运算互为逆运算，因此，可以通过平方运算来求一个数的平方根． 点拨　第（4）题实际上是求81的算术平方根的算术平方根，要避免错答为9，解这类题一般分两步做： 解析　由算术平方根的概念及已知条件先得到a、b的二元一次方程组，求出a，b，从而求出A、B，然后根据平方根的概念求解． 点拨　解此题需抓住算术平方根和平方根的定义． 【例3】下列语句是否正确？为什么？ 解析　根据平方根的定义和性质作出判断． 答案（1）对．因为42＝16，所以4是16的平方根； 点拨（3）、（4）题应先算出结果，再来判断有无平方根． 解析　本题考查负数没有平方根这一知识点，要注意x的取值必须同时符合两个条件： 点拨　等式成立的前提条件是必须有意义． 解析　若要求出xy的值，应先求出x，y的值，由算术平方根定义可知，根号里的数必须为非负数，由此列出不等式组求出x，y． 点拨　偶次方、绝对值和算术根都是非负数，像本题这样几个非负数的和为零，则每一个非负数都为零，这是非负数的重要性质，要牢固掌握． 解析　先利用非负数的性质，求出a，b的值，再解方程． 【例10】（2003年，黑龙江）2002年某公司第一车间全年完成生产总值264万元，比2001年增长23％，问： （1）2001年该车间全年完成生产总值是多少万元？（精确到1万元）（2）预计该车间2004年生产总值可达到386.5224万元，那么2002年到2004年平均年增长率是多少？ 解析　本题考查增长率问题，可列方程解决． 答案（1）设2001年该车间全年完成生产总值x万元，根据题意有：x（1＋23％）＝264， 解得x≈215． 答:（1）2001年该车间全年完成生产总值215万元； （2）2002年到2004年平均年增长率为21％． 5．2　立方根 Ⅰ　学法导引 1．学习本节知识前应先复习立方运算的有关知识，立方运算与开立方是互为逆运算，在运算结果上可以相互检验其正确性． 2．学习本节内容时注意加强与平方根的对比，弄清两者的区别和联系． Ⅱ　要点精讲 1　重点：立方根的概念和性质． 2　难点：平方根与立方根的区别和联系． 联系：都与相应的乘方互为逆运算；零的平方根和立方根都是它本身． 区别：（1）任意数都有立方根，但负数没有平方根； （2）一个正数有一个正的立方根，而一个正数有两个互为相反数的平方根． 3　易错点：受平方根影响，认为立方根也有两个且互为相反数． Ⅲ　精典例题 【例1】求下列各数的立方根： 解析　本题考查立方根的求法，解题方法是运用立方根的定义求解． 点拨　本题的易错点是与求平方根混淆和弄错符号． 【例2】求下列各式的值： 解析　任何一个数都有与它本身符号相同的一个立方根，根据立方根的定义便可求出各式的值． 点拨　（1）立方根的符号与被开方数的符号相同；（2）当被开方数是带分数时要化为假分数，若含有运算时，先算出被开方数值再求其立方根． 【例3】求下列各式中的x： 解析　根据立方根的定义和性质求解． 解析　本题考查n次方根的意义，注意要分n为奇数和偶数两种情况考虑． 点拨　平方根和立方根分别是偶次方根和奇次方根的特例，把它们的性质加以推广，即得n次方根的性质． 解析　因为只有非负数才有算术根，所以有2a－3≥0，根指数必须是大于1的整数，联合可求出a的取值，再讨论求解． 点拨　本题易将算术根误解为算术平方根． 解析　根据立方根小数点与被开方数小数点移动规律来计算 点拨　选择已知条件时，要观察已知条件的被开方数与所求立方根的被开方数小数点之间的规律，被开方数的小数点向左（或向右）移动三