第8章极坐标1.pptVIP

第8章 平面问题极坐标解 极坐标基本方程 应力函数和相容方程 轴对称问题 非轴对称问题 孔口应力集中 楔形体顶端受集中力作用 ※平衡方程 8.3 轴对称问题 轴对称问题的表述 外在对称 物体形状对称于z轴，与? 无关 荷载对称于z轴，与? 无关 内在对称 应力函数与极角无关：? = ? (r) 应力分量（应变分量）与极角无关 等式左边是r 的函数，右边是? 的函数，只可能等于同一常数F 位移的一般表达式为 * * 弹性力学 蒋 玉 川 2007.5.17 第1章 绪论 第2章 应力分析 第3章 应变分析 第4章 Hook 定律 第5章 弹性力学问题的解法 第6章 柱体的扭转 第7章 平面问题直角坐标解 第8章 平面问题极坐标解 第9章 能量原理及其变分法 第10章 薄板弯曲 8.1 极坐标基本方程 极坐标中的平衡方程 ∴应力单元 矩形尺寸：dr、rd? 应力分量：?r、?? 、 ?r? 体积力分量：fr、f? f? r dr d? ? x y o ?? ?r ?r? ??r fr 最后结果 得极坐标表示的平衡微分方程为， (8.1) 为了求解问题，还必须考虑形变和位移。另外，由于用极坐标求解的圆形、扇形、曲梁等结构，在边界处的单元体与内部的单元体有相同的扇形形状，因此，在极坐标中可不再另列边界条件的表达式，只须考察边界处的单元体，就可以建立应力与面力之间的关系。 线段PA的正应变为 2. 几何方程 由位移 引起的 为 由位移 引起的 为 故二者叠加得 由图可知切应变 故 汇总后即为 (8.2) 式(8-2)就是极坐标中的几何方程。 3.物理方程 (8.3) 3、应力函数和变形协调方程 极坐标情况下，同样可以用应力函数 来表示平衡微分方程式的解，若不计体力,平衡方程(8.1)可以写成， (8.4) (8.5) 求解(8.4)、(8.6)可用坐标轴旋转方法使x轴与矢径r重合，则此轴上所有点的 与 相等。 由式(7.53): 直接推出： (8.6) 将(8.6)代入(8.5)得 对r积分可得 (8.7) 将(8.6)和(8.7)代入(8.4)式得， 对r积分得： (8.8) 将其汇总为 (8.9) 式(8.9)同样应满足极坐标中的变形协调方程，它可以从直角坐标的变形协调方程(7.52)导出，由于 即 （8.10） 由于应力张量的不变量不随坐标系的改变而改变 对于平面问题有： 将(8.9)式代入上式： 再代入式(8.10)即得到： （8.11） 式(8.11)是极坐标系中体力为常量时的相容方程，应力函数 是满足双调和方程(8.11)的双调和函数。 用极坐标求解平面问题时，只须从微分方程(8.11)求解应力函数 ，然后按式(8.9)求应力分量，并且边界上满足应力边界条件。在多连通体中相应的位移还须满足位移单值条件。和直角坐标一样，通常也是采用逆解法或半逆解法。结合边界上的外力或截面内力，一部分问题 可以表示成θ函数的显式与f(r)的乘积；另一部分问题可以表示成r函数的显式与f(θ)的乘积。 小 结 轴对称问题的基本解答 应力函数 双调和方程简化 即 (8.14) 这是一常微分方程(尤拉方程)，可以引用变换式 ，将其变换为常系数的常微分方程，然后求解。 因为 且引入记号： 或 或 或 或 将以上四式代入(8.14)式，得常系数常微分方程. (8.15) 对应的特征方程： 有两对重根 及 于是方程(8.15)的通解为 代入上式，即得方程(8.14)的通解 (8.16) 又应力分量表达式(8.9)简化为 将式(8.16)代入上式得应力分量的表达式 (8.17) 可见正应力分量也只是r的函数，不随θ而变，而剪应力分量不存在，所以应力状态是对称于通过z轴的任意平面，即所谓绕z轴对称，称为轴对称应力。 应变分量 应力代入胡克定律 位移分量 积分上面二式，得 由 得到关于任意函数f1、f2应满足的条件 对r求导