松江区数学(理科)试卷(附答案).docVIP

松江区20年（分钟，分分）． 2． 2 ． 3． 3 ． 4． 8π ． 5． ． 6． 2 ． 7． 3 ． 8． ．（答案不唯一）． 9． － ． 10． ． 11． 2500 ． 12． 10 ． 13． ． 14． 56、9 ． 二、选择题 15．B 16． D 17． B 18． A 三．解答题（本大题满分78分） 19．（本题14分，其中第（1）小题8分，第（2）小题6分） 如图所示，在一条海防警戒线上的点、、处各有一个水声监测点，、两点到点的距离分别为千米和千米．某时刻，收到发自静止目标的一个声波信号，8秒后、同时接收到该声波信号，已知声波在水中的传播速度是千米/秒． （1）设到的距离为千米，用表示，到的距离，并求的值； （2）求到海防警戒线的距离（结果精确到千米）． 解： 依题意，有， . …………2分 在△PAB中，AB=20 …………4分 同理，在△PAB中，AC=50 …………6分 ∵ ∴ 解之，得…………8分 (2)作PD在△ADP中， 由 得 …………12分 ∴千米 答：静止目标到海防警戒线的距离为千米。…………14分 20．（本题14分，其中第（1）小题6分，第（2）小题8分） 设在直三棱柱中，，，依次为的中点． （1）求异面直线、所成角的大小（用反三角函数值表示）； （2）求点到平面的距离． 解：以A为原点建立如图空间坐标系，则各点坐标为，， ，，…………2分 （1），， ∴…………6分 （2）设平面的一个法向量为，∵， 由 得 令 可得 …………10分 ∵ ∴…………13分 ∴点到平面的距离为．…………14分 21．（本题16分，其中第（1）小题8分，第（2）小题8分） 已知椭圆的方程为，长轴是短轴的2倍，且椭圆过点，斜率为的直线过点，为直线的一个法向量，坐标平面上的点满足条件． （1）写出椭圆方程，并求点到直线的距离； （2）若椭圆上恰好存在3个这样的点，求的值． 解：（1）由题意得 解得 …………3分 ∴椭圆方程为： …………4分 直线的方程为，其一个法向量，设点B的坐标为，由及 得 …………6分 ∴到直线的距离为 …………8分 （2）由（1）知，点B是椭圆上到直线的距离为1的点，即与直线的距离为1的二条平行线与椭圆恰好有三个交点。 设与直线平行的直线方程为 由得，即 ………①…………10分 当时，………② 又由两平行线间的距离为1，可得………③ 把②代入③得，即， 即，或 …………12分 当时，代入②得，代回③得或 当，时，由①知 此时两平行线和与椭圆只有一个交点，不合题意；…………14分 当时，代入②得，代回③得或 当，时，由①知 此时两平行线和，与椭圆有三个交点， ∴ …………16分 22．（本题满分16分，其中第（1）小题4分，第（2）小题8分，第（3）小题4分） 设是两个数列，点为直角坐标平面上的点．对若三点共线， （1）求数列的通项公式； （2）若数列{}满足：，其中是第三项为8，公比为4的等比数列.求证：点列(1，在同一条直线上； （3）记数列、{}的前项和分别为和，对任意自然数，是否总存在与相关的自然数，使得？若存在，求出与的关系，若不存在，请说明理由． 解：（1）因三点共线， …………2分 得故数列的通项公式为 …………4分 （2）由题意 ， 由题意得 …………6分 当时，…………8分 .当n=1时，，也适合上式， …………10分 因为两点的斜率为常数 所以点列（1，在同一条直线上. …………12分 （3）由 得； 得…………14分 若，则 ∴ ∴对任意自然数，当时，总有成立。…………16分 23．（本题满分18分，第（1）题5分，第（2）题8分，第（3）题5分） 设函数的定义域为，值域为，如果存在函数，使得函数的值域仍然是，那么，称函数是函数的一个等值域变换， （1）判断下列是不是的一个等值域变换？说明你的理由； ，； ，； （2）设的值域，已知是的一个等值域变换，且函数的定义域为，求实数的值； （3）设函数的定义域为，值域为，函数的定义域为，值域为，写出是的一个等值域变换的充分非必要条件（不必证明），并举例说明条件的不必要性． 解：（1）：函数的值域为，，， 所以，不是的一