2014高三数学知识点精析精练27导数及其应用费.docVIP

2014高三数学知识点精析精练27：导数及其应用 【复习要点】 一、导数 导数是中学限选内容中较为重要的知识，本节内容主要是在导数的定义，常用求等公式.四则运算求导法则和复合函数求导法则等问题上对考生进行训练与指导. 1.深刻理解导数的概念，了解用定义求简单的导数. 表示函数的平均改变量，它是Δx的函数，而f′(x0)表示一个数值，即f′(x)=，知道导数的等价形式：. 2.求导其本质是求极限，在求极限的过程中，力求使所求极限的结构形式转化为已知极限的形式，即导数的定义，这是顺利求导的关键. 3.对于函数求导，一般要遵循先化简，再求导的基本原则，求导时，不但要重视求导法则的应用，而且要特别注意求导法则对求导的制约作用，在实施化简时，首先必须注意变换的等价性，避免不必要的运算失误. 4.复合函数求导法则，像链条一样，必须一环一环套下去，而不能丢掉其中的一环.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的，分清其间的复合关系. 二、导数的应用 利用导数求函数的极大(小)值，求函数在连续区间［a,b］上的最大最小值，或利用求导法解决一些实际应用问题是函数内容的继续与延伸，这种解决问题的方法使复杂问题变得简单化，因而已逐渐成为新高考的又一热点.本节内容主要是指导考生对这种方法的应用. 1.f(x)在某个区间内可导，若f′(x)＞0,则f(x)是增函数；若f′(x)＜0,则f(x)是减函数. 2.求函数的极值点应先求导，然后令y′=0得出全部导数为0的点，(导数为0的点不一定都是极值点，例如：y=x3,当x=0时，导数是0，但非极值点)，导数为0的点是否是极值点，取决于这个点左、右两边的增减性，即两边的y′的符号，若改变符号，则该点为极值点；若不改变符号，则非极值点，一个函数的极值点不一定在导数为0的点处取得，但可得函数的极值点一定导数为0. 3.可导函数的最值可通过(a,b)内的极值和端点的函数值比较求得，但不可导函数的极值有时可能在函数不可导的点处取得，因此，一般的连续函数还必须和导数不存在的点的函数值进行比较，如y=|x|,在x=0处不可导，但它是最小值点. 【例题】 已知曲线C：y=x3－3x2+2x,直线l:y=kx,且l与C切于点(x0,y0)(x0≠0)，求直线l的方程及切点坐标. 解：由l过原点，知k=(x0≠0),点(x0,y0)在曲线C上，y0=x03－3x02+2x0, ∴=x02－3x0+2 y′=3x2－6x+2,k=3x02－6x0+2 又k=,∴3x02－6x0+2=x02－3x0+2 2x02－3x0=0,∴x0=0或x0= 由x≠0,知x0= ∴y0=()3－3()2+2·=－ ∴k==－ ∴l方程y=－x 切点(，－) 求函数的导数： 解： (2)解：y=μ3,μ=ax－bsin2ωx,μ=av－by v=x,y=sinγ γ=ωx y′=(μ3)′=3μ2·μ′=3μ2(av－by)′ =3μ2(av′－by′)=3μ2(av′－by′γ′) =3(ax－bsin2ωx)2(a－bωsin2ωx) (3)解法一：设y=f(μ),μ=,v=x2+1,则 y′x=y′μμ′v·v′x=f′(μ)·v－·2x =f′()··2x= 解法二：y′=［f()］′=f′()·()′ =f′()·(x2+1)·(x2+1)′ =f′()·(x2+1) ·2x =f′() 已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值； ②图象过点(0,－3)2x+y=0平行． （1）求f(x)的解析式；（2）求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间 解：（1）设f(x)=ax2+bx+c，则f ((x)=2ax+b． 由题设可得：即，解得 所以f(x)=x2－2x－3 （2）g(x)=f(x2)=x4－2x2－3，g ((x)=4x3－4x=4x(x－1)(x+1)． 列表： x (－∞,－1) －1 (－1,0) 0 (0,1) 1 f((x) － 0 + 0 － 0 + f(x) ↘ ↗ ↘ ↗ 由表可得：函数g(x)的单调递增区间为(－1,0) 又f(1)=－1,∴a+b+c=－1……（3） 由⑴⑵⑶解得a=, (2)f(x)=x3－x, ∴f′(x)=x2－=(x－1)(x+1) 当x＜－1或x＞1时，f′(x)＞0 当－1＜x＜1时，f′(x)＜0 ∴函数f(x)在(－∞,－1)和(1,+∞)上是增函数，在(－1，1)上是减函数. ∴当x=－1时，函数取得极大值f(－1)=1, 当x=1时，函数取得极小值f(1)=－1. 在甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40 km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50 km，两厂要在此岸边合建一个供水站