第三讲函数的值域单调性(教案).docVIP

第三讲 函数的定义域 值域 单调性 一.基础知识 1.函数的定义域 ⑴未加特殊说明，函数的定义域就是指使函数有意义的自变量x的取值的集合. 求函数定义域的主要依据： ①分式的分母不为零；②偶次方根的被开方数不小于零，零取零次方没有意义； ③对数函数的真数必须大于零；④指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； ⑤三角函数中的正切函数， ⑥如果函数是有实际意义确定的解析式，应根据自变量的实际意义确定其取值范围。 注意：如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是由各基本函数定义域的交集. ⑵复合函数定义域：①的定义域的定义域为，指的是，如的定义域为，指的是 ②已知f(x)的定义域为,其复合函数的定义域应由不等式解出。 2. 函数的值域 ⑴定义:在函数y=f(x)中，与自变量x的值对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。 ⑵ 基本初等函数的值域 ①的值域为R. ② 当a0时，值域为；当a0时，值域为. ③值域为. ④值域为. ⑤值域为R. ⑥值域为[-1,1];值域为R ⑶求函数值域的方法 ①直接法：从自变量x的范围出发，推出y=f(x)的取值范围. ②配方法：配方法是求“二次函数类”值域的基本方法，形如的函数的值域问题，均可使用配方法；对于有范围限制的，往往是配方、画图、取段、看值域. ③反表示法：对形如的函数，可先用y反表示f(x),再利用f(x)本身的有界性求y的取值范围；此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域. ④判别式法：把函数转化成关于x的二次方程F(x,y)=0，通过方程有实根，，从而求得原函数的值域，对形如（a、d不同时为0）的函数求值域常用此法，但前提是定义域是R,且分子分母无公因子可约. ⑤换元法：运用代数或三角代换，将所给函数化成值域容易确定的另一函数，从而求得原函数的值域.一般的无理函数常用此法求值域. ⑥单调性法：确定函数在定义域上的单调性求出函数的值域. 3.函数单调性⑴定义:对于给定区间上的函数,如果对于属于这个区间上的任意两自变量的值,当时,都有,我们就说是这个区间上的增(减)函数. ⑵判断函数单调性（求单调区间）的方法： ①定义法②图象法③利用熟悉的函数④从复合函数的单调性规律入手 ⑶函数单调性的证明：定义法 ⑷重要结论： ①若f(x),g(x)均为增函数，则f(x)+g(x)仍为增函数； ②若f(x)为增函数，则-f(x)为减函数； ③互为反函数的两个函数有相同的单调性； ④设是定义在M上的函数，若f(x)与g(x)的单调性相反，则在M上是减函数；若f(x)与g(x)的单调性相同，则在M上是增函数。 注意：研究函数单调性的大前提是函数的定义域 二.应用 例1.求下列函数的定义域 解⑴由 得,所以 {x|-6≤x0,且x≠-1} ⑵解:由 得 ,得 ⑶解:因为 (1)当k≤0时,定义域为R; (2)当k.0且ab0时,定义域为 (3)当k0且ba.0时,定义域为 (4) 当0k1且a=b时,定义域为R 例2.（1）的定义域为[0，1]，求的定义域 答案: [-2，-1] （2）若函数的定义域为[-1，1]，求的定义域 答案: 练习：已知函数f(x)的定义域为，求函数的定义域（其中a为正常数）. 解:要使由意义,则即 (1)若0a1时,则,,x∈[-a,a] (2)a 1时,则,, (3)若a=1,则x∈[-1,1], 综上所述,原函数的定义域为(1)0a≤1时, x∈[-a,a],(2) a 1时, 例3．求下列函数的值域 ① ② ③ 解：①配方法：由得 当时,. 当或3时, ②换元法：令,则 ,当即时,,无最小值. ③三角换元法：函数的定义域是, 设,则化为 ,, 原来的函数的值域是 . 注意：求值域要注意①在函数的定义域范围内求值域②求值域最后应写成集合或区间的形式； 对形如的函数可令，则转化为关于t的有范围限制的二次函数求值；对于含有的结构的函数，可考虑用三角换元令x=acosθ求解. 例4．求下列函数的值域 ① ② ③ 解:①分离常数法： 函数的值域为 ②反表示法：， 函数的值域为（-1，1） ③判别式法：由得， 当时，，当时，由得，函数定义域为R, 函数的值域为 注意：对形如的函数，可先用y反表示f(x),再利用f(x)本身的有界性求y的取值范围；此种类型较简单时也可采用“分离常数”的办法直接看值域.对形如（a、d不同时为0）的函数求值域常用判别式法；注意使用前提：定义域是R且分子分母无公因子可约.此外求解过程中需兼顾二次项系数是否可能为0，以避免求解过程对而不