线性代数期末试卷1.docVIP

解答与参考评分标准 一、单项选择题（每小题3分，共15分） 1.设,则下列矩阵中可与A交换的矩阵是（ A ） A. B. C. D. 2. A是n阶方阵，P是正交矩阵，且，则下列结论不成立的是（ B ） A. A和B相似 B. A和B有相同的特征向量 C. A和B等价 D. A和B有相同的特征值 3.矩阵A在（ D ）时可能改变其秩。 A. 转置 B. 初等变换 C. 乘一个可逆方阵 D. 乘一个不可逆方阵 4.已知，P为三阶非零矩阵，且满足，则（ C ） A. t=6时P的秩必为1 B. t=6时P的秩必为2 C. t6时P的秩必为1 D. t6时P的秩必为2 5.设A为n阶方阵，且，、是的两个不同解向量，则的通解为（ C ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 6．行列式 7. 当R=时，向量与向量的内积为2。 8.设三阶方阵A的行列式，。则 。 9.设向量组（I）的秩为,向量组（II）的秩为，且向量组（I）可由向量组（II）线性表示，则与的大小关系为 。 10.如果矩阵与相似，则 0 , 1 三、计算题（每小题10分，共50分） 11、设，求 解： 5分 9分 所以 10分 12、已知矩阵， ，，满足 ，求。 解：因为，所以B可逆 3分 又因为，所以有， 即： 6分 8分 10分 13、试问取何值时，线性方程组有唯一解、无解及无穷多解？有无穷多解时，求其通解。 解：方程组的系数行列式为 5分 1.当时，即且时，方程组有唯一解。 7分 2.当时，三个方程相加得，因此方程组无解。 8分 3.当时，方程组变形为，因此方程组有无穷多解。 10分 14、设、、、，问可否由线性表示，若可线性表示，给出表示法。 解： 5分 8分 可由、、线性表示，而且有 10分 15、已知，求 解：根据分块矩阵， 2分 其中，， 3分 且 ， ， 9分 10分 四、解答题（10分） 16、已知是矩阵的一个特征向量。求 1）A的特征值和特征向量2）问A能否相似于对角矩阵？说明理由 解：1）由，得 即 4分 (三重) 7分 当时， 故是对应于的特征向量。 8分 2）对应的线性无关特征向量只有一个， 故A不能相似于对角矩阵。 10分 五、证明题（每小题5分，共10分） 17. 设为阶正定矩阵，为非零实列向量，当时，有，证明：线性无关。 证明：设,两边同时左乘得 2分 3分 由于正定，所以 4分 同理可证，故线性无关。 5分 18. 设为阶实正定矩阵，为阶实矩阵，试证：为正定矩阵的充要条件是 证明：“充分性” 1分 正定正定 3分 “必要性” 正定 4分