4-1线性方程组.ppt

一、齐次线性方程组有非零解的判定定理 二 齐次线性方程组解的结构 定理1：设 ，则齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 . 推论1：设 ，则齐次线性方程组 只有零解的充要条件是 . 推论2：若A为n阶方阵，则齐次线性方程组 有非零解的充要条件是 . 4.1 齐次线性方程组 1、性质1：若 是齐次线性方程组 的两个解，则 为任意常数）也是它的解. 2、定义：设 是齐次线性方程组 的解，如果满足下面两个条件： （1） 线性无关； （2） 的任一个解均可由 线性表示. 则称 是齐次线性方程组 的一个基础解系. 若AX=0有非零解， 则 齐次线性方程组 的一个基础解系 就是其所有解的一个极大线性无关组，此时任何解都能由基础解系中的解的线性组合表示出来。 3、定理2：设A是 矩阵.若 ，则齐次线性方程组 存在基础解系、且基础解系所含向量的个数为 . 事实上,由这个定义可知，若齐次方程组AX=0只有零解，则它不存在基础解系。 例1：求齐次线性方程组 的一个基础解系和通解 解： 对系数矩阵作初等行变换，变为行最简形矩阵，有 即得一个基础解系 即得与原方程组同解的方程组： 一般求齐次线性方程组通解的步骤： （1）用初等行变换将系数矩阵A化成行最简形矩阵B，可求出r(A) = r(B)= r。 （2）由行最简形写出方程一般解。 （3）对n－r个自由未知数，分别取n－r组数 可得齐次方程组得一个基础解系 于是，齐次方程组的通解为：