椭圆的习题讲解.doc

椭圆的简单几何性质 任课老师---韦正状 椭圆 定义 1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2．与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.（0e1） 图形 方 程 标准方程 (0) (0) 参数方程 范围 ─a?x?a，─b?y?b 中心 原点O（0，0） 原点O（0，0) 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (b,0),(-b,0)(0,a),(0,-a) 对称轴 X轴，y轴； 长轴长2a,短轴长2b X轴，y轴 长轴长2a,短轴长2b 焦点 F1(c,0),?F2(─c,0) 焦距 2c 2c, 离心率 离心率越小，图像越圆；离心率越大，图像越扁 准线 x= y= 焦半径 通径 焦点三角形的周长：2a+2c，面积， 精题精讲 例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法画出它的图形． 解：把已知方程化成标准方程 所以，， 因此，椭圆的长轴的长和短轴的长分别为，离心率，两个焦点分别为，椭圆的四个顶点是， 将已知方程变形为，根据，在的范围内算出几个点的坐标： 0 1 2 3 4 5 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 先描点画出椭圆的一部分，再利用椭圆的对称性画出整个椭圆： 例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。 （1）（2） 答：简图如下： 例3分别在两个坐标系中，画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。 （1）（2） 答：简图如下： 例4写出下列椭圆的准线方程：（1） (2) 解：⑴方程可化为 ，是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 ⑵方程是焦点在轴上且，的椭圆 所以此椭圆的准线方程为 例5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程. （1）椭圆过(3，0)点，离心率e=。 （2）过点（3，-2）且与椭圆有相同焦点。 （3）长轴长与短轴长之和为10，焦距为。 （4）中心在原点，离心率为，准线方程为。 （5）中心在原点，对称轴在坐标轴上，x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直，且此焦点与长轴上较近的端点距离是。 【解】 当椭圆的焦点在x轴上时， ∵a=3,=,∴c=.从而b2=a2－c2=9－6=3, ∴椭圆的方程为=1. 当椭圆的焦点在y轴上时，∵b=3,=, ∴=,∴a2=27. ∴椭圆的方程为=1. ∴所求椭圆的方程为=1或=1. 例6求满足下列条件的椭圆的离心率. （1）若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍. （2）若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形. （3）设为椭圆的两个焦点，以为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M，若直线与圆相切. （4）若分别为椭圆的左、右焦点，P是以为直径的圆与椭圆的一个交点，且. 例7已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围 例8椭圆上有一点P，它到椭圆的左准线距离为10，求点P到椭圆的右焦点的距离 解：椭圆的离心率为，根据椭圆的第二定义得，点P到椭圆的左焦点距离为 再根据椭圆的第一定义得，点P到椭圆的右焦点的距离为20－8＝12 例9设分别为椭圆的左、右焦点，是椭圆上一点，求证： 例10椭圆，其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5，求椭圆方程 解：由椭圆的焦半径公式，得 ，解得，从而有 所求椭圆方程为 例11已知椭圆的中心在原点，长轴在x轴上，离心率，已知点到这个椭圆上的点的最远距离是，求这个椭圆方程. 例12已知是椭圆的两个焦点，点P是椭圆上一点. （1） 若，求的面积； （2） 若为钝角，求点P横坐标的取值范围. 例13已知椭圆内一点P（1，-1），F是椭圆的右焦点，点M在椭圆上，（1）求点M坐标，使最小；（2）求点M坐标，使最大. 解：A(,0)，设M点的坐标为（），由MA⊥MO得 化简得 所以 例14把下列参数方程化为普通方程，普通方程化为参数方程 (1) (2). 解：(1) (2) 例15已知椭圆上的点P(),求的取值范围. 解：＝ 例16已知直线l与椭圆相交于A、B两点，弦AB中点坐标（1，1），求及直线l的方程。 例17已知椭圆 （1）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程； （2）过引椭圆的割线，求截得得弦的中点轨迹方程； （3） 求过点，且被平分的弦所在的直线方程. 例18已知中心在原点，一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为，求此椭圆的方程. 例19已知椭圆的中心在原点，焦点在坐标轴上，直线被椭圆截得的弦AB的长为，且AB的中点C与椭圆中心的连线的斜率为，求这个椭圆的