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椭圆的习题讲解
椭圆的简单几何性质
任课老师---韦正状
椭圆 定义 1到两定点F1,F2的距离之和为定值2a(2a|F1F2|)的点的轨迹 2.与定点和直线的距离之比为定值e的点的轨迹.(0e1) 图形
方
程 标准方程
(0)
(0) 参数方程 范围 ─a?x?a,─b?y?b 中心 原点O(0,0) 原点O(0,0) 顶点 (a,0), (─a,0), (0,b) , (0,─b) (b,0),(-b,0)(0,a),(0,-a) 对称轴 X轴,y轴;
长轴长2a,短轴长2b X轴,y轴
长轴长2a,短轴长2b 焦点 F1(c,0),?F2(─c,0) 焦距 2c 2c, 离心率 离心率越小,图像越圆;离心率越大,图像越扁 准线 x= y= 焦半径 通径 焦点三角形的周长:2a+2c,面积,
精题精讲
例1 求椭圆的长轴和短轴的长、离心率、焦点和顶点的坐标,并用描点法画出它的图形.
解:把已知方程化成标准方程
所以,,
因此,椭圆的长轴的长和短轴的长分别为,离心率,两个焦点分别为,椭圆的四个顶点是,
将已知方程变形为,根据,在的范围内算出几个点的坐标:
0 1 2 3 4 5 4 3.9 3.7 3.2 2.4 0 先描点画出椭圆的一部分,再利用椭圆的对称性画出整个椭圆:
例2在同一坐标系中画出下列椭圆的简图,并求出顶点坐标和离心率。
(1)(2)
答:简图如下:
例3分别在两个坐标系中,画出以下椭圆的简图并比较它们的离心率。
(1)(2)
答:简图如下:
例4写出下列椭圆的准线方程:(1) (2)
解:⑴方程可化为 ,是焦点在轴上且,的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
⑵方程是焦点在轴上且,的椭圆
所以此椭圆的准线方程为
例5. 分别求出符合下列条件的椭圆的标准方程.
(1)椭圆过(3,0)点,离心率e=。
(2)过点(3,-2)且与椭圆有相同焦点。
(3)长轴长与短轴长之和为10,焦距为。
(4)中心在原点,离心率为,准线方程为。
(5)中心在原点,对称轴在坐标轴上,x轴上的一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点距离是。
【解】 当椭圆的焦点在x轴上时,
∵a=3,=,∴c=.从而b2=a2-c2=9-6=3,
∴椭圆的方程为=1.
当椭圆的焦点在y轴上时,∵b=3,=,
∴=,∴a2=27.
∴椭圆的方程为=1.
∴所求椭圆的方程为=1或=1.
例6求满足下列条件的椭圆的离心率.
(1)若椭圆两准线间的距离是该椭圆焦距的2倍.
(2)若椭圆的一个顶点与它的两个焦点构成的三角形是等边三角形.
(3)设为椭圆的两个焦点,以为圆心过椭圆中心的圆与椭圆有一个交点M,若直线与圆相切.
(4)若分别为椭圆的左、右焦点,P是以为直径的圆与椭圆的一个交点,且.
例7已知椭圆与轴的正半轴交于A,O是原点,若椭圆上存在一点M,使MA⊥MO,求椭圆离心率的取值范围
例8椭圆上有一点P,它到椭圆的左准线距离为10,求点P到椭圆的右焦点的距离
解:椭圆的离心率为,根据椭圆的第二定义得,点P到椭圆的左焦点距离为
再根据椭圆的第一定义得,点P到椭圆的右焦点的距离为20-8=12
例9设分别为椭圆的左、右焦点,是椭圆上一点,求证:
例10椭圆,其上一点P(3,)到两焦点的距离分别是6.5和3.5,求椭圆方程
解:由椭圆的焦半径公式,得
,解得,从而有
所求椭圆方程为
例11已知椭圆的中心在原点,长轴在x轴上,离心率,已知点到这个椭圆上的点的最远距离是,求这个椭圆方程.
例12已知是椭圆的两个焦点,点P是椭圆上一点.
(1) 若,求的面积;
(2) 若为钝角,求点P横坐标的取值范围.
例13已知椭圆内一点P(1,-1),F是椭圆的右焦点,点M在椭圆上,(1)求点M坐标,使最小;(2)求点M坐标,使最大.
解:A(,0),设M点的坐标为(),由MA⊥MO得
化简得
所以
例14把下列参数方程化为普通方程,普通方程化为参数方程
(1) (2).
解:(1)
(2)
例15已知椭圆上的点P(),求的取值范围.
解:=
例16已知直线l与椭圆相交于A、B两点,弦AB中点坐标(1,1),求及直线l的方程。
例17已知椭圆
(1)求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程;
(2)过引椭圆的割线,求截得得弦的中点轨迹方程;
(3) 求过点,且被平分的弦所在的直线方程.
例18已知中心在原点,一个焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点横坐标为,求此椭圆的方程.
例19已知椭圆的中心在原点,焦点在坐标轴上,直线被椭圆截得的弦AB的长为,且AB的中点C与椭圆中心的连线的斜率为,求这个椭圆的
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