卡尔曼滤波器第四章.docVIP

第四章 卡尔曼滤波器的设计和实现 4.1 kalman filter模型误差和发散 在前几章我们讨论的状态方程和测量方程可以认为是实际物理系统的一种数学描述。状态方程则是我们用以设计滤波器的依据。由于技术上的原因，数学模型总是不准确的，我们讨论由此引起的误差。 设模型为 （4-1） 为控制项，、是白噪声且互不相关，同也不相关，即有 ，， 根据以上条件，设计Kalman滤波器。 时间修正过程： （4-2） （4-3） 测量修正过程： （4-4） （4-5） （4-6） 注：写成（4-5）式的形式，可以保证分量在计算中的对称性，在编制软件时用此式。 以下为了方便，设 ， ，， 预测误差协方差（a prior error covariance）是 （4-7） 现在假定对象以状态描写，其动态方程和测量方程为 （4-8） 设、是白噪声且互不相关，与也不相关，即有 ，， 方程式（4-1）和（4-8）有同样的阶，矩阵、、、、、、可能与前面给的值不等。因此，将依据（4-1）式设计的滤波器用于（4-8）式，就要导致很严重的后果，所以就不能说成是最优的。 下面讨论模型和实际系统不相符合时，产生误差的理论分析方法。 以验前(priori)和验后(posteriori)两个误差来说明。它们分别表示估值、与实际系统状态的误差值，即 验前误差： （4-9） 验后误差： （4-10） 它们和滤波器设计中出现的预测误差（predicted）不相等，的方差为，以（4-7）式表示，相对（4-1）(（4-6）式它应该是最小的，但实际确做不到。如果滤波器从理论和实际上完全正确，那么，实际上的误差值和在执行上应该是可接受的小。 下面，探讨如何寻找实际的误差协方差（actual error covariances）和。 首先，考虑时间修正 （4-11） 定义模型不匹配的系统矩阵为 （4-12） 上式可以写为 （4-13） 现在，附加误差到系统的实际状态，形成了一个增广状态（an augmented state） (4-14) 定义相关矩阵 （4-15） 和 （4-16） 简单起见，设，，将（4-14）式代入（4-15）式，有 则得到时间的修正方程 （4-17） （4-18） （4-19） 在上述三式中，我们感兴趣的是，它是实际误差的相关阵。是实际系统状态的相关阵。当没有模型不匹配误差时，即、、时，（4-19）式等同于（4-2）式，即有。所以，、（实际系统状态和误差互相关阵）只是影响计算环节，我们最终要求的是，小就说明我们的估值和实际系统状态相近。 下面考虑测量修正方程 （4-20） 上式中，用到，是因为输出值的测量只能是实际系统的输出，所以。 定义模型不匹配的输出矩阵为 （4-21） 有 （4-22） 再定义一个增广状态矢量，有 （4-23） 类似上边的方法，两边求相关，有 （4-24） 则可产生测量修正方程式 （4-25） （4-26） （4-27） 如果、，即没有模型误差，（4-27）式将变为（4-5）式，即。为区别起见，在这里，将称为预测误差协方差（predicted error covariance）。同样，、只是为了推导有用。 尽管模型有误差，设估值和状态的初始条件是相同的，即 结合（4-13）式和（4-22）式，有 （4-28） 上式为实际误差的系统误差方程式，其意义为： （1）如果模型是正确的，它简化为 （2）如果或，误差系统被实际系统状态驱动，除非是有界的，误差特性将增长。因此，在存在模型不确切情况下，在大多数情况下，实际系统必