第10章解答.doc

第 10 章 （之1） 教学内容：§10.1向量及其运算 * 1. 设，则= 。 答：。 ** 2. 设向量与不平行，，则的充分必要条件为 。 答：。 ** 3.设直线L经过点且平行于向量a, 点的径向量为，设是直线L的任意一点，试用向量，a表示点的径向量。 解：∵， ∴， 而， ∴ ∴P点的径向量为 。 ** 4．设 ，a与b的夹角等于，求： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1） 。 （2） 。 （3）。 （4） ， 。 ** 5．设，a与b的夹角等于，求： （1）； （2）与的夹角。 解：（1） ， ∴， 。 （2） ， ∴向量垂直。 ** 6. 若a，b为非零向量，且，试证。 解：， ∴ ， ∴， ∴， ∴， ∴。 ***7. 点A和B的位置向量分别是和，点P将线段AB分成长度之比为的两部分，试证明点P的位置向量为： 。 解：根据条件可知， ， ，于是， ， 从而有 。 第 10 章（之2） 教学内容：§10.2空间直角坐标系与向量代数 1.填空题 *(1) 点A（2，－3，－1）关于点M（3，1，－2）的对称点是(((((( 。 答：(4,5,-3) **(2) 设平行四边形的三个顶点为，则 点为(((((( 。 答：（，，） **(3) 已知，且，则=(((((( 。 答：。 **2. A,B两点的坐标分别为，线段AB与轴相交且被轴平分，求之值及交点坐标。 解：令AB与轴相交于点，即为AB的中点，则点的坐标为 ， 又点在轴上，所以 ，即 ， 故点的坐标为，即交点的坐标为。 **3.设A,B两点的坐标分别为。求 （1）向量的模； （2）向量的方向余弦； （3）使的点坐标。 解：（1）， 则 ， 所以的模为3。 （2）。 （3）， 设的坐标为（x ,y ,z）， 则 ， ， ， 所以点的坐标为。 **4. 求的值，使向量与平行，再求一组使此两向量垂直的值。 解：向量与平行， 即：， ∴， ∴， 向量与垂直时， ， ∴。 ∴， 为任意值。 **5.求作用于某点三个力之合力的大小及方向。 解：， 合力的大小 ， ， 其中分别为与轴，轴，轴的夹角。 ** 6. 试在xy平面上求一与 成正交的向量。 解：设所求向量为 ， ∵ 在平面上， ∴， 且 ， 即：， ∴， ， 取 ， ∴ 向量 与 正交。 ** 7. 设 ，，求： （1）； （2）； （3）； （4）。 解：（1）。 （2）。 （3） 。 （4）。 ** 8.设，，求： （1）； （2）与的夹角。 解：（1）； ； （2）， 即 ， 则 ， 又 ，所以 ，即与的夹角为。 ** 9.在平面内求模为10的向量b，使它和向量 垂直。 解：∵ 向量在平面内， ∴ 可设坐标为 ， ∵ ， ∴ ， 即：， ∴， 又 ， ∴， 或 ， ∴向量的坐标为： 或 。 *** 10. 试证明 。 其中及为任意实数。 解：设的坐标分别为， ， 即：， ∴ 。 第 10 章（之3） 教学内容：§10.3平面与直线[10.3.1] 1.填空题 *(1) 平行于轴，且过点及的平面方程是(((((( 。 答： **(2) 与坐标平面垂直的平面的一般方程为(((((( 。 答： ** (3) 过点与向量平行的平面方程为((((( 。 答： * 2. 平面是 （A）平行于平面 （B）平行于 轴，但不通过 轴 （C）垂直于轴 （D）通过轴 答：（ ） 答：B **3. 填表讨论一般方程中，系数A,B,C,D中有一个或数个等于零的特殊情况，与图象的特征的对应关系。 系 数 情 况 图 像 特 征 ， ， 平面 过轴 平面垂直于y轴 解：， （1） 平行于z轴（不包括过z轴）的平面。 （2）过x轴的平面（不包括过y轴、z轴的平面）。 （3）过z轴的平面。 （4） 平面垂直于y轴。 4．在下列各题中，求出满足给定条件的平面方程： **（1）过点及且平行于向量； 解：所求平面的法向量垂直于向量与由点与点构成的向量，故取。 故可得所求平面方程为 ， 即