二次函数高考问题研究.doc

 PAGE \* MERGEFORMAT 5 二次函数高考问题研究 全品第二轮教育：P22 已知函数f(x)=x2-1,g(x)=a∣x-1∣. （1）若∣f(x)∣＝g(x)有两个不同的解，求a的值； (2)若当x∈R时，不等式f(x)≥g(x)恒成立，求a的取值范围。 分析：（1）由∣f(x)∣＝g(x)有：∣x-1∣（∣x+1∣－a）＝0， 显然x=1是方程的解，从而欲使原方程有两个不同的解，即要求 方程∣x+1∣－a ＝0“有且仅有一个不等于1的解”或“有两解，一解为1，另一解不等于1”，结合图形得：a=0或a=2； （2）不等式f(x)≥g(x) 对x∈R恒成立， 即x2-1 ≥a∣x-1∣（*）对x∈R恒成立， 当x=1时，（*）显然成立，此时a∈R; 当x≠1时，（*）可变形为 因为当x1时，φ（x）2;当x1时，φ（x）－2，所以g(x)-2,故此时a≤-2，综合①②得所求a的取值范围是a≤-2。 点评：本题对绝对值的运算设置的精妙，在解题中要善于转化，这是考查的重点，应认真体会，应用。 2011届高考模拟仿真试题A（二） 设a为非负实数，函数f(x)=x∣x-a∣-a. (1)当a=2时，求函数的单调区间； (2)讨论函数y=f(x)的零点个数，并求出零点。 分析：（1）当a＝2时，f(x)=， 当x≥2时,f(x)=x2-2x-2=(x-1)2-3, 所以f(x)在(2,+∞)上单调递增； 当x2时,f(x)=-x2+2x-2=-(x-1)2-1, 所以f(x)在(1,2)上单调递减，在(-∞,1)上单调递增； 综上所述，f(x)的单调递增区间是(2,+∞)和(-∞,1),单调递减区间是（1，2） (2)①当a＝0时，f(x)=x∣x∣,函数y＝f(x)的零点为x0=0; ②当a0时，f(x)=x∣x-a∣-a=, 故当x≥a时，f(x)=，二次函数对称轴x=， 所以f(x)在（a，+∞）上单调递增，f(a)0； 当xa时，f(x)=－，二次函数对称轴x=， 所以f(x)在（,a）上单调递减，在()上单调递增； 所以f(x)的极大值为 （Ⅰ）当 由x2-ax-a=0,解之得函数零点为 （Ⅱ）当 （Ⅲ）当 综上有：下结论总结。 点评：本题利用二次函数的性质－单调性，对函数零点进行了充分的评析，在分析的过程中利用函数图象帮助理清思路，写出解答过程，其文字功底不可或缺。 专题限时集训P58 直线y=1与曲线y=x2-∣x∣+a有四个交点，则a的取值范围是 分析：画出函数y=x2-∣x∣+a的图象对解决本题能减少很大的思维量，如图： 当x=时，取最小值， 当x=0时，y=a,故有：1a, 可求得：(1, ). 2010江苏高考押题： 已知函数． 　（1）若函数在R上是增函数，求实数的取值范围； 　（2）求所有的实数，使得对任意时，函数的图象恒在函数图象的下方； 　（3）若存在，使得关于的方程有三个不相等的实数根，求实数的取值范围． 分析：如何去掉绝对值的符号，注意要分类讨论： 解：（1） 由在R上是增函数，则即，则范围为； （2）由题意得对任意的实数，恒成立， 即，当恒成立，即，， ，故只要且在上恒成立即可， 在时，只要的最大值小于且的最小值大于即可， 而当时，，为增函数，； 当时，，为增函数，， 所以； （3）当时，在R上是增函数，则关于x的方程不可能有三个不等的实数根； 则当时，由得 时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为， 时，对称轴， 则在为增函数，此时的值域为， 在为减函数，此时的值域为； 由存在，方程有三个不相等的实根，则， 即存在，使得即可，令， 只要使即可，而在上是增函数，， 故实数的取值范围为； 同理可求当时，的取值范围为； 综上所述，实数的取值范围为． （2012长沙一中月考三）已知二次函数y=f(x)的图象为开口向下的抛物线，且对任意x∈R都有f(1-x)=f(1+x)。若向量 ，则满足不等式f(ab)f(-1)的m的取值范围为 。 解析：由题意知二次函数开口向下，对称轴为x=1,故f(x)的单调递增区间为（－∞，1]，要使f(ab)f(-1)，则应有