线代期中复习小结.docVIP

一、行列式 1．行列式的定义 用个元素组成的记号称为n阶行列式。 　（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和； 　（2）展开式共有n!项，其中符号正负各半； 2．行列式的计算 一阶行列式，二、三阶行列式有对角线法则； N阶（n3）行列式的计算：降阶法 　定理：n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。 　方法：选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。 特特情况 上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积； （2）行列式值为0的几种情况： 　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0； Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同； Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例； Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。 二．矩阵 　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）； 　2．矩阵的运算 （1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果； （2）关于乘法的几个结论： ①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）； ②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；③若A、B为同阶方阵，则； ④ 　3．矩阵的秩 （1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩； （2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论： 矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。 求秩：利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。 　4．逆矩阵 　（1）定义：A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）； 　（2）性质：　，； 　（3）可逆的条件： 　 ①　；　②r(A)=n; ③ （4）逆的求解 伴随矩阵法　； ②初等变换法　 5．用逆矩阵求解矩阵方程： ，则； ，则； ，则 三、线性方程组 1．线性方程组解的判定 定理： 特别地：对齐次线性方程组，； 再特别，若为方阵， 2．齐次线性方程组 （1）解的情况： r(A)=n，（或系数行列式）只有零解； r(A)n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。 （2）解的结构： 　。 （3）求解的方法和步骤： 　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵； ②写出对应同解方程组； ③移项，利用自由未知数表示所有未知数； ④表示出基础解系； ⑤写出通解。 3．非齐次线性方程组 （1）解的情况： 利用判定定理。 （2）解的结构： 　。 （3）无穷多组解的求解方法和步骤： 　与齐次线性方程组相同。 （4）唯一解的解法： 　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。