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南京理工大学2005年高等代数试题 试题编号：200511036 考试科目：高等代数（满分： 150分） 考生注意：所有答案（包括填空题）按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分 选择填空（2分10=20分） 1. 欧氏空间的度量矩阵一定是-------. (A) 正交矩阵； (B) 正定矩阵； (C) 上三角矩阵； (D) 下三角矩阵. 2. 级实矩阵被称为正交矩阵是指--------. (A) (其中，是的转置)； (B) (其中，E 是单位矩阵)； (C) （其中，是的伴随矩阵）； (D) . 3. 设A是复数域上线性空间的一个线性变换，则在中必存在一组基，使A在这组基下的矩阵是--------矩阵. (A) 单位； (B) 对角； (C) Jordan (若尔当)； (D) 正交. 4. 对于任意一个级实对称矩阵，都存在一个级--------矩阵，使得成为对角形。 (A) 上三角； (B) 对称； (C) Jordan (若尔当)； (D) 正交. 5. 设A是数域上线性空间的线性变换，是的子空间，如果对于中任意向量有A，则称是A的--------子空间. (A) 非平凡； (B) 不变； (C) 核； (D) 零. 6. 对一个矩阵作一初等行变换，就相当于在的-------边乘上相应的初等矩阵. (A) 左边； (B) 右边； (C) 两边； (D) 左边或右边. 7. 欧氏空间的线性变换A被称为正交变换是指：对任意的，都有-------. (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 8. 设是数域上的矩阵且秩，. 若方程组有非零解，则它的基础解系所含解的个数为-------个. (A) ； (B) ； (C) ； (D) 0 . 9. 设是数域上的级矩阵，是的伴随矩阵，则-------. (A) 单位矩阵 ； (B) ； (C) ； (D) . 10. 设是数域上的矩阵,如果是级可逆矩阵，则 秩------- 秩. (A) ； (B) ； (C) ； (D) . 二．（30分） 1. （7分）设是奇素数，试证 在有理数域上不可约. 2. （8分） 判断是的几重根. 3．（5分） 设A是数域上线性空间的线性变换，是A的特征值，而且. 分别是对应于的特征子空间，试证：是直和. 4. （5分） 设,已知的个特征向量: 对应于特征值的特征向量为, 对应于特征值的特征向量为, ,. 试计算，其中是自然数. 5. （5分） 设是数域上的一个维线性空间，是它的一组基，是 上的一个线性函数，已知 . 求：. 三. （10分） 用非退化线性变换化下列二次型为规范形,并写出所作的线性变换: 四. （10分） 设，试证：取任何实数都不能使为正定矩阵. 五. （10分） 设是级矩阵且，试证：的行列式. 六. （10分） 设 ，，，，. 由生成的子空间记为，由生成的子空间记为. 求的维数; (2) 求的一组基. 七. （10分） 设 是维线性空间的一组基,已知线性变换A在这组基下的矩阵为, 求A的核及值域. 八. （15分） 设，求正交矩阵使得成为对角矩阵. 九. （10分） 取什么值时,线性方程组 有解？在有解的情形求一般解 十. （10分） 设, ,,, 如果线性方程组的解全部是的解. 试证可由线性表出. 十一. （7分） 在数域上级方阵的全体中, 求出所有仅与自己相似的方阵 十二. （8分） 设分块矩阵为正定矩阵，其中是的转置. 证明： 1）可逆； 2）也正定. 1