考研数学二模拟361.docVIP

2011年全国硕士研究生入学统一一考试 数学(二) 全真模拟试题(三) 模拟试题三 一、选择题：在每小题所给出的四个选项中，只有一个选项符合题目要求． (1) 下列无穷小中阶数最高的是( ) (2) 下列命题正确的是( ) (A) 若f(x)在x0处可导，则一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ内f(x)可导 (B) 若f(x)在x0处连续，则一定存在δ＞0，在|x-x0|＜δ内f(x)连续 (C) 若存在，则f(x)在x0处可导 (D) 若f(x)在x0的去心邻域内可导，f(x)在x0处连续，且存在，则f(x)在x0处可导，且 (3) 下列说法中正确的是( ) (A) 若f(x0)＜0，则f(x)在x0的邻域内单调减少 (B) 若f(x)在x0取极大值，则当x∈(x0-δ，x0)时，f(x)单调增加，当x∈(x0，x0+δ)时，f(x)单调减少 (C) f(x)在x0取极值，则f(x)在x0连续 (D) f(x)为偶函数，f(0)≠0，则f(x)在x=0处一定取到极值 (4) 设δ＞0，f(x)在(-δ，δ)内恒有f(x)＞0，且|f(x)|≤x2，记则有( ) (A) I=0 (B) I＞0 (C) I＜0 (D) 不能确定 (5) 设f有一阶连续的偏导数，且f(x+y，x-y)=4(x2-xy-y2)，则xfx(z，y)+yfy(x，y)为( ) (A) 2x2-8xy-2y2 (B) -2x2+8xy-2y2 (C) 2x2-8xy+2y2 (D) -2x2+8xy+2y2 (6) 设f(x)=x3-3x+k只有一个零点，则k的范围是( ) (A) |k|＜1 (B) |k|＞1 (C) |k|＞2 (D) k＜2 (7) 设B等于( ) (8) 设A是n阶矩阵，则A可相似对角化的充分必要条件是( ) (A) A是可逆矩阵 (B) A的特征值都是单值 (C) A是实对称矩阵 (D) A有n个线性无关的特征向量 二、填空题 (9) 设f(x)在(-∞，+∞)内可导，且 则a=______． (10) 设f(x，y)为连续函数，改变为极坐标的累次积分为=______． (11) xy-y=x2的通解为______． (12) 设，且F(u，v)连续可偏导，则=______． (13) 设A为一个装满水的半球形水池，半径为R，若用水泵将A中水全部抽出，则克服重力做功为______． (14) 设A为三阶矩阵，A的三个特征值为λ1=-2，λ2=1，λ3=2，A*是A的伴随矩阵，则A11+A22+A33=______． 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． (15) 证明：当X＜1且z≠0时，(17) 设f(x)∈C[a，b]，证明：存在ξ∈(a，b)，使得 (18) 设f(x)在R上可微且f(0)=0，又 (19) 设f(x)在(0，+∞)内一阶连续可微，且对满足xf(x)+x3，又f(1)=0，求f(x)． (20) 一个容器的内表面侧面由曲线绕x轴旋转而成，外表面由曲线x=在点的切线位于点与x轴交点之间的部分绕x轴旋转而成，此容器材质的密度为μ．求此容器自身的质量M及其内表面的面积S． (21) 位于上半平面的上凹曲线y=y(x)过点(0，2)，在该点处的切线水平，曲线上任一点(x，y)处的曲率与及1+y2。之积成反比，比例系数为，求y=y(x)． (22) 设A是n阶矩阵，证明： (Ⅰ)r(A)=1的充分必要条件是存在行阶非零列向量α，β，使得A=αβT； (Ⅱ) r(A)=1且tr(A)≠0，证明A可相似对角化． (23) 设A，B都是n阶正定矩阵，P为n×m矩阵，证明：PT(A+B)P正定的充分必要条件是r(P)=m． 模拟试题三 一、选择题 (1) B [详解] ex-etanx=etanx(ex-tanx-1)～x-tanx，，所以 (2) D [详解] 得f(x)在x=0处可导(也连续)． 对任意的a≠0，因为不存在，所以f(x)在x=a处不连续，当然也不可导，即x=0是f(x)唯一的连续点和可导点，(A)，(B)不对； 令f(x)在x=0处不连续，当然也不可导，(C)不对； 因为f(x)在x0处连续且在x0的去心邻域内可导，所以由微分中值定理有f(x)-f(x0)=，其中ξ介于z0与x之间，两边取极限得存在，即f(x)在x0处可导，且，选(D)． (3) D [详解] 在x=0的任意邻域内都不单调减少，(A)不对；f(x)，f(x)在x=0处取得极大值，但其在x=0的任一邻域内皆不，f(x)在x=1处取得极大值，但f(x)在x=1处不连续；由f(0)存在，得f(0)存在，又f(x)为偶函数，所以f(0)=0，所以x=0一定为f(x)的极值点，选(D)． (4) B [详解] 因为|f(x)|≤x