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直线与方程知识梳理 2012年4月10日 基本知识点： 斜率：设平面上两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),如果x1 x2，则直线PQ的斜率为 = = (x1 x2) 思考：如果x1 =x2，是什么样的情况？ 练习： 判断：设平面上两点P（x1,y1）,Q(x2,y2),则直线PQ的斜率为 当直线的斜率为正时，直线从左下方向右上方倾斜 当直线的斜率为负时，直线从右上方向左下方倾斜 当直线的斜率为0时，直线与x轴平行或重合 3、倾斜角：对于一条与x轴相交的直线，把x轴所在的直线绕着交点按逆 时针方向旋转到和直线重合时所转过的最小正角称为这条直线的倾斜角。 4、规定：与 x轴平行或重合的直线的倾斜角为0o。 5、直线的倾斜角的取值范围是： 0o180 o 当直线斜率为正时，直线倾斜角为锐角 当直线斜率为负时，直线倾斜角为钝角 6、当直线与x轴不垂直时，直线的斜率k与倾斜角之间的关系满足 k=tan 7、点斜式直线方程 因 所以 y-y1=k(x-x1) 注意：当直线与x轴垂直时，斜率不存在，其方程不能用点斜式表式 这种情况表示为 x=x1 8、斜截式方程 y=kx+b 思考：任何一条直线都可以用点斜式方程表示吗？ 9、两点式 y-y1=(x-x1) 当y2y1时， 方程 叫直线的两点式方程 10、截距式方程 （ab0） 11、一般式方程 A x+By+C=0 (A、B不全为0) 12、两直线平行，则这两直线斜率相等（斜率都存在的情况） 13、两直线垂直，则这两直线的斜率的乘积为-1(斜率都存在) 思考：如果两条直线的其中一条斜率不存在，那么这两条直线时候垂直？ 14、 A1x+B1y+C1=0 方程组 A2x+B2y+C2=0的解 一组 无数组 无解 直线l1，l2的公共点数 一个 无数个 零个 直线l1,l2 的位置关系 相交 重合 平行 15、平面上两点之间的距离 P1P2= 2 16、对于平面上两点P1（x1,y1）,P2(x2,y2)，线段P1P2的中点是M（x0,y0），则 17、点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离： 基本应用题型及解题思路 1、直线2x+3-5=0关于直线y=x对称的直线方程是?原函数与它的反函数的图像关于直线Y=X对称 直线2X+3Y-5=0关于直线Y=X的对称直线是：2Y+3X-5=0（把X，Y互换即可） “一步一个脚印的”解法： 找出直线上的两个点----最简单的两个点无疑是分别令X=0，Y=0时的点：A（0,5／3），B（5／2,0） 点A（5／2，0）和点B(0，5／3)关于直线Y=X的对称点是： 点A1(5／3,0),点B1（0，5／2） 直线A1B1的方程由：5／2=0+b,0=5k／3+b联立解得： k=-3／2,b=5／2 Y=-3X／2+5／2 整理得：2Y+3X-5=0． ∵直线过点，，即，① 又由已知，可得，即，② 由①、②可得，解得，． 故所求直线方程为． 析：本题由于对截距的概念不清，混淆了“距离”与“截距”的概念，误将直线在x轴和y轴上的截距作为距离使用而导致错误．事实上， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为而不是．故应有 ③，由①、③易得所求直线方程为，或，或． 二、因忽视零截距而致错 例2 求过定点，且在两坐标轴上的截距相等的直线方程． 误：设直线在两坐标轴上的截距为a，故所求的直线方程为，即． 将点代入，得． 故所求直线方程为． 析：本题由于忽视了“零截距”而导致错误．事实上，当两截距均为零时也满足条件，所以应增加截距均为零的情况．当直线在两坐标轴上的截距为零时，设所求的直线方程为，将点代入得，故所求直线方程为，即．所以，所求直线方程为或． 三、因忽视直线的斜率不存在而致错 例3 求过点且与x轴的交点到（1，0）的距离为5的直线方程． 误：设直线的斜率为k，则其方程为． 则其与x轴的交点为． ∴，解得． 故所求直线方程为． 析：本题由于只注意了直线的斜率存在的情况而忽视了直线的斜率不存在的情况，即忽略了过点且垂直于x轴的直线而导致错误．其实直线也适合题意．故所求直线方程为或． 四、因忽视题目的隐含条件而致错 例４ 如果直线与轴平行，求的值． 误：∵直线与轴平行，∴．