高考新题型巧解点悟 专题十三 排列、组合与二项式定理.docVIP

专题十三 排列、组合与二项式定理 一、新题型内核表解主干知识点 知能转化点 (1)(2)排列、排列数公式 = (3)组合、组合数公式 (4)组合数的两个性质： ； (4)二项式定理、二项式系数性质 (1)理顺排列、组合、二项式定理关系： (2)正确地分类与分步 (3)理解排列与组合的意义 (4)排列数与组合数公式的两种表示方法的合理正确使用 (5)二项展开式的通项的特征，一些简单问题的计算与证明 解题关键点 常见障碍点 (1)(2)解组合题用“直接法”与“间接法”，并且遵循“正难则反”的原则 (3)解决与二项式系数相关的问题：构造二项式，利用赋值法 (4)用多种不同的方法解决排列与组合的应用题 (1)运用两个基本原理时，容易混淆分类与分步的区别与方法：分类有遗漏，分步有重复 (2)容易混淆排列与组合的概念，忽视它们有无顺序的区别 (3)解排列、组合应用题时，容易出现重复与漏计数的情形 (4)容易混淆二项式系数与项的系数的区别 (5)近似计算时误差较大 二、新题型巧解点悟 1．枚举法 【例】同室4人各写1张贺年卡，先集中起来，然后每人从中拿1张别人送出的贺年卡，则4张贺年卡不同的分配方式有 ( ) A．6种 B．9种 C．11种 D．23种 【分析】这是一道1994年全国高考试题．可多种办法加以 【解】 故共有9种不同的分配方式，选B． 解法二 由于总共只有4个人(用1，2，3，4代表4个人)，这个数目不大，化为填数问题之后，可用枚举法进行具体的填写： 显然，满足条件的解共有9种． 解法三 记4个人分别为甲、乙、丙、丁，则甲送出的贺年卡可以且只可以由其他三人之一收到，故有3种分配方式；以乙收到甲送出的贺年卡为例，其他人收到卡片的情形可分为两类： 第一类：甲收到乙送出的贺年卡，这时丙、丁只有互送贺年卡1种分配方式； 第二类：甲收到的不是乙送出的贺年卡．这时，甲收到贺年卡的方式有2种(分别是丙和丁送出的)．对每一种情况，丙、丁收到贺年卡的方式各只有一种． 因此，由分步计数原理与分类计数原理得，不同的分配方式数为3×(1+2)=9． 解法四 给4个人编号：1、2、3、4，每个号码代表1个人，人与号码之间的关系是一对一的关系；每个人送出的贺年卡赋给与其编号相同的数字作为代表．这样，贺年卡的分配问题可抽象为如下典型问题：将数字1、2、3、4，填入标号为1、2、3、4的4个方格里，每格填写一个数字，则每个方格的编号与所填数字都不相同的填法共有多少种(也可以说成：用数字1、2、3、4组成没有重复数字的4位数，那么每位数字都不等于位数的4位数共有多少个)？ 用分步计数原理解决如下： 首先，在第1号方格里填写数字，可填上2、3、4中的任一个数，有3种填法； 其次，当第1号方格里填写的数字为i(2≤i≤4)时，则填写第i号方格的数字，有3种填法； 最后，将余下的两个数填写到空着的两个方格里，只有1种填法(因为余下的两个数，至少有1个与空着的格子的序号相同)． 由分步计数原理，得不同填法为：3×3×1=9． 【点悟】解题规律：本题是“乱坐问题”，亦称“错排问题”，当元素较小时，可用分步计数原理和分类计数原理加以求解，亦可使用枚举法等方法加以求解；而当元素较大时，则应采用容斥原理求解．解题易错点：排列组合的应用题，想到使用A(排列)或C(组合)，．【例】2)①将8个男生和30个女生排成一列，使得任何两名男生之间都至少有2个女生的排列有多少种不同的排法？ ②将8个男生和30个女生排成一个圆环，使得任何两名男生之间都至少有2个女生的排列有多少种不同的排法？ (3)一名小孩，每天至少吃一粒糖块，直至全部吃完为止．现有n粒糖块，问有多少种不同的吃法？ 【分析】(1)①将100个1从左到右依次写下来，它形成了99个空隙，从中选9个空隙并插入各一块板，这样9块板将这100个1分成了10个部分，每个部分均含有不少于1个的1，将从左到右的每一部分中1的个数分别给x1、、x2、…、x10，则每一种不同插板法都对应着唯一一组正整数解，因而方程共有= 439709556688706304组解． ②将每个未知数x1、、x2、…、x10均加上1后，分别得到新的未知数y1、、y2、…、y10，则原方程解的组数等于新方程：y1+y2+…+y10=100的正整数解的组数．于是所求答案亦为= 439709556688706304． ③这里x1比较特殊，不妨先对x1的取值进行讨论：x1分别可取0，1，2，共3种情况． 当x1=0时，x2+…+x10=10，将每个未知数x2、、x3、…、x10均加上1后，分别得到新的未知数y2、、y3、…、y10，则原方程解的组数等于新方程：y2+y3+…+y10=19的正整数解的组数．此种情况下所求答案