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2010─2011学年 第一学期 《数值分析》课程考试试卷（A卷）答案及评分标准 注意：1、本试卷共3页； 2、考试时间:120分钟 3、姓名、学号必须写在指定地方 题号 一 二 三 四 五 六 七 八 九 总分 得分 阅卷人 得分 一、(16分)填空题 1. 设,则 (1分)， (1分) 2. 已知，则 (1分), (1分) 3.设可微,求方程根的牛顿迭代格式是(2分) 4.用二分法求方程在区间内的根，迭代进行二步后根所在区间为（2分） 5. 设则差商（2分） 6.为尽量避免有效数字的严重损失，应将表达式改写为 以保证计算结果比较精确.（2分） 7.将作Doolittle分解(即分解),则 (2分); (2分) 阅卷人 得分 二、（10分）求下列超定线性方程组的最小二乘解. 解： 要使总残差达到最小，必有 (8分) （10分） 阅卷人 得分 三、(10分) 在区间上利用压缩映像原理判断迭代格式 的敛散性. 解：由 知迭代函数 当，单调上升. 当， 是单调下降的 由压缩映像原理可以知道，当时，迭代格式收敛. （10分） 阅卷人 得分 四、（14分）设对称,顺序主子式则分解存在,其中为单位下三角形矩阵,为对角阵,试写出求方程 组解的计算步骤(用矩阵表示), 此法称为改进平方根法. 试用它求解方程组： 解: 由可得的方程为,令,则.计算步骤 (1) 将直接分解，求出 (2) 求解方程 (3) 求解方程 （5分） 现有 比较矩阵两边的元素,可得: 由可得 由得 （14分） 阅卷人 得分 五、(10分) 已知的函数值如下表: 利用所有数据,用复合辛普森（Simpson）公式计算积分的近似值. 解： 阅卷人 得分 六、(10分) 取节点,写出的一次插值多项式并估计插值误差. 解 建立Lagrange公式为 .（8分） （10分） 阅卷人 得分 七、（10分）分别写出解线性方程组 收敛的迭代格式和迭代格式，并说明其收敛的理由. 解:将原方程组调整次序如下: 调整次序后的方程组为主对角线严格占优方程组, 故可保证建立的迭代格式和迭代格式一定收敛. 收敛的迭代格式为: （5分） 收敛的迭代格式为: （10分） 阅卷人 得分 八、（10分）设初值问题: (1) 写出用欧拉（Euler）方法、取步长解上述初值问题数值解的公式； (2) 写出用改进欧拉（Euler）方法、取步长解上述初值问题数值解的公式. 解：（1）取步长解上述初值问题数值解的Euler公式为； （5分） （2）取步长解上述初值问题数值解的改进Euler公式为： (10分) 阅卷人 得分 九、（10分）求线性代数方程组的数值解法主要有矩阵的直接分解法(如LU 分解法、Crout分解法、Cholesky分解法等)和迭代法（如Jacobi迭代法、Gauss-Seidel迭代法）.请你简述求解线性代数方程组的直接分解法和迭代法这两类方法的不同点和相同点. 1 A卷 三峡大学试卷 教学班号 序号 学号 姓名 密 封 线 三峡大学试卷 教学班号 序号 学号 姓名