2013年大连市高三二模数学理科答案.docVIP

2013年大连市高三二模测试试题 理科数学试题参考答案 说明： 一、本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容比照评分标准制订相应的评分细则． 二、对解答题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答末改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分． 三、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数． 四、只给整数分数，选择题和填空题不给中间分． 一、选择题 1.C；2.D；3. B ；4.A；5.C；6.B ；7．C；8.B；9.C；10.D；11.B；12.A. 二、； 15. ；16. . 三、解答题 17.解:(Ⅰ) 设“取出的个球颜色不全相同”为事件,“恰好取出个白球”为事件. 则. 4分 (Ⅱ)随机变量的所有可能取值为, ,, ,, 8分 的分布列为 10分 数学期望. 12分 18. 解：(I)在中，由余弦定理，得： ∴ （海里）． 4分 (II)设外国船到达离D点12海里处的地点为为E点，所用时间为t小时，过点B作BF垂直于AD于点F，则, 在中，由余弦定理，得：． 解得或（舍）． 7分 在中，由余弦定理，得：, ，． 9分 在中，由余弦定理，得：， ． 11分 所以海监船的航向是北偏东，最小航行速度为20海里/小时． 12分 19．:(Ⅰ)平面,平面,. 四边形是菱形,,又,平面. 而平面, 平面⊥平面. 6分 (Ⅱ)如图,以为坐标原点,方向为轴正方向, 以为单位长度,建立空间直角坐标系. ,,, ,,, 设平面的法向量, 则,取, 8分 ,, 设平面的法向量, 则,取, 10分 由于二面角的大小为,, 即,,或(舍). 即为中点,所以的值为. 12分 (注:先说明为中点,即的值为,后证明同样得分) 20.解：（Ⅰ）法一： 由已知直线EF一定有斜率，设EF: , 联立,消去得． 设，由韦达定理得，． 2分 因为 ,所以． 所以 ， ， ． 化简得：，即 ． 所以 或． 4分 当时， 直线DE：，恒过定点（-2,1）（舍）． 当时，直线DE：，恒过定点（2,5）． 6分 法二： 由已知DE和DF都有斜率，设DE: ， 联立 ，消去得． 设， 考虑到D在已知抛物线上，由韦达定理得，得 ． 2分 同理可得： ． 所以， 所以 ． 4分 即， 当，即时不论k为何值时等式都成立. 所以：直线EF恒过定点（2,5）. 6分 （注：整理为亦可） （Ⅱ）法一： 假设满足条件的直线存在，其方程为， 的中点为，与为直径的圆相交于点、的中点为， 则，设，则点的坐标为． 8分 ， ， ， ． 10分 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在， 其方程为，即抛物线的通径所在的直线． 12分 法二： 假设满足条件的直线存在，其方程为， 则以为直径的圆的方程为， 8分 将直线方程代入得， 则． 设直线与以为直径的圆的交点为， 则有． 10分 令，得，此时为定值，故满足条件的直线存在， 其方程为，即抛物线的通径所在的直线． 12分 21. 解:(Ⅰ), ①当即时,恒大于0,的增区间是; 2分 ②当即时,令，得， 当时,,当时, 从而的减区间是,的增区间是. 4分 (Ⅱ)对恒成立, 设,, 设,, 当时,,即在上是增函数,. 6分 ①当时,,恒成立,在上是增函数, 成立,满足题意; ②当时,由于是增函数且连续,所以存在,使得在时,是减函数,,与恒成立矛盾. 综上,实数的范围是. 8分 (Ⅲ)由于,, 由(2)知,当时,,,, , 10分 设,, 设,则,在上是增函数, ,在上是增函数,, 即,证明完毕. 12分 22．解:（Ⅰ）证明：，. 在正△中，，， 又，， △BAD≌△CBE，， 即，所以，，，四点共圆. 5分 （Ⅱ）解法1：如图6，取的中点，连结，则. ，， ，， △AGD为正三角形，，即， 所以点是△AED外接圆的圆心，且圆的半径为. 由于，，，四点共圆， 即，，，四点共圆，其半径为. 10分 解法2:在中,由余弦定理, , ,,是外接圆直径. 以下同解法1答案. 10分 23. 解：（I）， ， 2分 ， 即，． 5分 （II）方法1：直线上的点向圆C 引切线长是 ， ∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． 10分 方法2：， 圆心C到距离是， ∴直线上的点向圆C引的切线长的最小值是． 10分 24．证明：因为，是正实数，所以，