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幂级数习题解答 Page 1 of 5 幂级数习题解答 1．求收敛半径、收敛区间、收敛域． ∞ (n!)2 2n （1） (x −1) ； ∑ n 1 (2n)! 解： 2 (n +1)! 2(n +1) (x −1) u (x) 2 2 2 2 n + x − x − n +1 (2(n +1))! ( 1) ( 1) ( 1) lim lim lim ， 2 n + n + n →∞ un (x) n →∞ n! 2n n →∞(2 1)(2 2) 4 (x −1) 2 (2n)! 所以收敛半径为R 2 ，收敛区间为(−1, 3) ． | un+1 | 4(n +1)2 | x −1| 2 时， 1，级数发散，所以收敛域与收敛区间相同． | un | (2n +1)(2n +2) ∞ ⎛an bn ⎞ + n , 0 （2） x a b ． ∑⎜ 2 ⎟ n n n 1 ⎝ ⎠ ∞ an 1 1 ∞ bn 1 1 解：级数 ∑ x n 的收敛域为[− , ) ，级数∑ 2 x n 的收敛域为[− , ] ．所以当a ≥b n 1 n a a n 1 n b b 1 1 1 1 时级数的收敛域为 [− , ) ，当 a b 时级数收敛域为 [− , ] ．收敛半径为 a a b b 1 R ． max(a,b) ∞ ∞ a 2．求级数 ∑ n x n 收敛半径, 已知 ∑an x n 的收敛半径为 r ∈(0, +∞) ． n! n 0 n 0