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函数的几种性质间的关系及应用 　　下列性质是初等函数常见的几种性质： 　　设a是非零常数，对于函数y＝f(x)定义域内的一切x， 　　 (1)如果总有f(a＋x)＝f(a－x)成立，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称． 　　 简证 设点M(x0，y0)是函数y＝f(x)图象上任意一点，则点M关于直线x＝a对称点M的坐标为(2a－x0，y0)，∵f(2a－x0)＝f[a＋(a－x0)]＝f[a－(a－x0)]＝f(x0)＝y0，∴点M也在函数y＝f(x)的图象上，得证． 　　 (2)如果总有f(x＋a)＝f(x－a)成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且T＝2a是它的一个周期． 　　 简证 ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝f[(x＋a)－a]＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且T＝2a是它的一个周期． 　　 (3)如果总有f(－x)＝f(x)成立，则函数y＝f(x)是偶函数． 　　 (4)如果总有f(x＋a)＝－f(x)成立，则函数y＝f(x)是周期函数，且T＝2a是它的一个周期． 　　 简证 ∵f(x＋2a)＝f[(x＋a)＋a]＝－f(x＋a)＝f(x)，∴f(x)是周期函数，且T＝2a是它的一个周期． 　　上述前三条性质逆命题也成立． 　　 命题1 若函数y＝f(x)的定义域关于原点对称，且满足性质1、性质2、性质3中的任意两条性质，那么它必满足另一条性质． 　　 简证 (1)若满足性质1、性质2，即有f(a＋x)＝f(a－x)且f(x＋a)＝f(x－a)，则f(x)＝f[(a＋(x－a)]＝f[a－(x－a)]＝f(2a－x)＝f[(a－x)＋a]＝f[(a－x)－a]＝f(－x)．∴满足性质3． 　　 (2)若满足性质1、性质3，即有f(a＋x)＝f(a－x)，且f(－x)＝f(x)，则f(a＋x)＝f[－(a－x)]＝f(x－a)，即f(x＋a)＝f(x－a)，满足性质2． 　　 (3)若满足性质2、性质3，即有f(x＋a)＝f(x－a)，且f(－x)＝f(x)，则f(x＋a)＝f[－(x－a)]＝f(a－x)，即f(a＋x)＝f(a－x)，满足性质1．得证． 　　 命题2 若函数满足性质1、性质4，则它必满足性质3． 　　 简证 ∵函数y＝f(x)满足性质4，∴它是周期函数，(且T＝2a是它的一个周期)． 　　 ∴它满足性质2，又∵它满足性质1，由命题1知它必满足性质3，得证． 　　 命题3 奇函数y＝f(x)满足性质1的充要条件是它满足性质4． 　　 简证 (1)充分性 ∵满足性质4，即f(x＋2a)＝－f(x)．(T＝4a是它的一个周期)． 　　 ∴f(a＋x)＝f[(x－a)＋2a]＝－f(x－a)＝f(a－x)，即满足性质1． 　　 (2)必要性 ∵满足性质1，即f(a＋x)＝f(a－x)，∴f(x＋2a)＝f[a＋(a＋x)]＝f[a－(a＋x)]＝f(－x)＝－f(x)．即满足性质4(T＝4a是函数f(x)的一个周期)．得证． 　　 例1 设f(x)是(－∞，＋∞)上的奇函数，f(x＋2)＝－f(x)，当0≤x≤1时，f(x)＝x，则f(7.5)等于 [ ] 　　 　　(1996年全国高考题) 　　 解 ∵f(x＋2)＝－f(x)，∴由性质4知函数y＝f(x)是一个周期函数，且T＝4是它的一个周期，∴f(7.5)＝f(8－0.5)＝f(－0.5)＝－f(0.5)＝－0.5，故选B． 　　 例2 f(x)是定义在(－∞，＋∞)上的偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x≤0时, 　　 　　(第八届“希望杯”赛试题) 　　 解 ∵f(x)是偶函数，且f(1＋x)＝f(1－x)，∴f(x)满足性质3、性质1，由命题1知， 　　 　　 例3 定义在实数集R上的奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，求f(2000)的值． 　　 解 ∵奇函数y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴它满足性质1(逆命题也成立)．由命题3知，函数y＝f(x)是周期函数，且T＝8是它的一个周期，∴f(2000)＝f(250×8)＝f(0)＝0． 　　 例4 设f(x)是定义在实数集R上的函数，且满足下列关系：f(10＋x)＝f(10－x)， 　　 f(20－x)＝－f(20＋x)，则f(x)是 [ ] 　　A．偶函数又是周期函数 　　 B．偶函数但不是周期函数 　　 C．奇函数又是周期函数 　　 D．奇函数但不是周期函数． 　　 (1992年全国高中联赛试题) 　　 解 由已知得f(20－x)＝f[10＋(10－x)]＝f[10－(10－x)]＝f(x)，又f(20＋x)＝f[10＋(10＋x)]＝f[10－(10＋x)]＝f(－x)，∵f(20－x)＝－f(20＋x)，∴f(x)＝－f(－x)，∴f(x)