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第九章 线性系统的状态空间分析与综合 例题 9-1 已知电枢控制的直流伺服电机的微分方程组及传递函数 + ⑴设状态变量，，及输出量，试建立其动态方程; ⑵设状态变量及 ,试建立其动态方程。 解： （1）由题意可知： ， 由已知 可推导出 由上式，可列动态方程如下 + y = （2）由题意可知： 可推导出 可列动态方程如下 由 和 得 由上式可得变换矩阵为 9-2 设系统微分方程为 。式中，u和y分别为系统输入和输出量。试列写可控标准型（即矩阵A为友矩阵）及可观测标准型(即矩阵A为友矩阵转置)状态空间表达式，并画出状态变量图。 解： 由题意可得： 可控标准型 状态变量图如下： 由方程得可观测标准型 状态变量图如下： 9-3 已知系统结构图如图所示，其状态变量为。试求动态方程，并画出状态变量图。 由结构图可得 由上述三式，可列动态方程如下： 状态变量图如下： 9-4 已知系统传递函数为，试求可控标准型，可观测标准型，对角型动态方程，并画出状态变量图。 解： 可控标准型 （2）可观测标准型 （3） 由上式可得对角型 9-5 已知双输入—双输出系统状态方程和输出方程分别为 写出矩阵形式的动态方程，并画出状态变量图 解： 由题中给定方程可列写出动态方程 状态变量图如下 9-6 已知系统动态方程为 ，试求传递函数G(s) 解： == 9-7 已知系统矩阵A=，至少用两种方法求状态转移矩阵。 解： （1）级数法： + = = 拉氏变换法 9-8 试求下列状态方程的解 的解。 解：由题意可得： 9-9 已知差分方程，并且y(0)=0,y(1)=1, 试列写可控标准型离散动态方程，并求出时的系统响应。 解： 由差分方程可得离散动态方程如下： 9-10 已知连续系统的动态方程为设采样周期，试求离散化动态方程。 解： == 9-14 试用李雅普诺夫第二法判断平衡状态的稳定性。 解：平衡点： 构造 则 = = 判定性质： 负定，因此平衡状态是大范围一致渐近稳定的 9-15 已知系统状态方程为 ，当Q = I时，矩阵P的值；若选Q为正半定矩阵，求对应的P矩阵的值，并判断系统稳定性。 解： 令： = 解得： 古氏行列式： 因此不定。 选 则 ， 为负半定。 由等式 解得： 正半定。 判定系统稳定性： 三个特征值分别为：。因此系统不稳定。 9-16 设线性定常离散系统状态方程为，试求使系统渐近稳定的k 值范围。 解： 令 即 解得： 若要满足题意，需令 。因此，渐近稳定的条件为：。 9-17 试判断下列系统的状态可控性。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) 解： （1） 该系统不可控 （2） 该系统不可控。 （3） 该系统可控。 （4） 该系统不可控。 （5） 解： 矩阵不满秩，该系统不可控。 （6） 解： 矩阵不满秩，该系统不可控。 9-19 设系统状态方程为，并设系统状态可控，试求。 解： 令时，即可满足可控性条件。 9-19 设系统状态方程为 ，并设系统状态可控、可观测， 试求值。 解： 采用可控标准型，不论为何值，系统总可控。 在任意三阶实现情况下可控，则。 9-20 试判断下列系统的可观测性： (1) (2) (3) (4) 解： （1） 该系统可观。 （2） 该系统可观。 （3） 该形式为约当标准型，直接判定，该系统可观。 （4） 该形式为约当标准型， 直接判定，该系统不可观。 9-21 试确定使系统可观测的。 解： 时，于是系统可观。 9-22 已知系统动态方程各矩阵为 ， 试用传递矩阵判断系统的可控性和