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《高等数学》教案 第二章 导数与微分 同济五版 第二节第二节 函数的求导法则 函数的求导法则 第二节第二节 函数的求导法则函数的求导法则 一、一、函数的和函数的和、差、差、、积积、、商的求导法则商的求导法则 一一、、函数的和函数的和、、差差、、积积、、商的求导法则商的求导法则 如果只利用导数的定义来求函数的导数，实在不易。求函数导数是否有简便可 行的方法呢？导数在数学形式上只是一种特殊的函数极限，因此，我们可由函数极 限的四则运算法则，导出函数求导的四则运算法则。 定理定理 若函数 u(x) 和v(x) 在点x 都可导，则它们的和、差、积、商（除分母为 定理定理 零的点外）都在点x 具有导数，且 ′ ′ ′ (1) [ u(x) ± v(x)] = u (x) ± v (x) ′ ′ ′ (2) [u(x) ⋅ v(x)] = u (x)v(x) + u(x)v(x) ′  ( )  ′( ) ( ) − ( ) ′( ) u x u x v x u x v x (3) = ( ( ) ≠0)   2 v x ( ) v x  v (x) ′ [u(x + ∆x) ± v(x + ∆x)] − [u(x) ± v(x)] u x ± v x = 证(1)： [ ( ) ( )] l i m ∆x →0 ∆x v x x v x [u(x + ∆x) − u(x) ( + ∆ ) − ( ) ′ ′ =l i m ±l i m = u (x) ± v (x) ∆x →0 ∆x ∆x →0 ∆x ′ ′ ′ 所以法则 (1)得证，且可表为 (u ± v) = u ± v 。(2)、(3)（证明略） 注注 11：：(1)可推广到有限个可导函数上去； 注注 11：： ′ ′ 注注 2：2：(2)中若取v(x) ≡ C 为常数，则有：(Cu) = Cu ； 注注 22：： 注注 33：：(3) 可推广到有限个可导函数的乘积上去，例如： 注注 33：：