数学与应用数学实二次型化零空间及介值性的进一步讨论精选.doc

实二次型化零空间及介值性的进一步讨论 严剑龙 （莆田学院数学系 指导教师：杨忠鹏） 摘要: 如果有向量使,称为二次型的化零向量,本文首先研究了对给定实二次型的化零向量的代数结构，并将讨论推广至实二次型的介值性的研究,提出了满足介值性要求的解向量的概念,证明二次型的全部解集合不能构成线性空间也不能够构成线性流形,二次型的部分解集合能构成线性空间也能够构成线性流形,但所有的线性空间并不都能构成线性流形,且线性流形是不唯一的. 关键词：二次型 化零向量 介值性 化零空间 线性流形 Abstract: we call vector is the solution of quadratic formsif have vectormake .this paper study algebra structure of those vectors that can make the given real quadratic forms into the null vector, and then we further study the theorem of Intermediate characteristic of real quadratic forms, presents solution vectors concept that can satisfied the requirement for Intermediate characteristic of Quadratic forms.the all solution set of quadratic forms is proved not to constitution forms linear space and forms linear manifold, the partly of the solution set of quadratic forms is constitution to linear space and linear manifold ,but all linear space not can constitute to linear manifold , also the linear manifold is not unique. Keyword：Quadratic forms into the null vector Intermediate characteristic Make into the null space linear manifold 0 引言 0.1 记号 表示实数域上的所有阶矩阵，表示阶单位矩阵,表示矩阵的秩若则称为实对称矩阵. 表示维的实向量 实二次型正惯性指数为,负惯性指数为,符号差为.这里 0.2 有关定义 定义1 设是一实二次型,若存在有,使得,则称为二次型的化零向量. 定义2 设可逆矩阵,使得 使实二次型化成规范形 如果,若中的非零元素为1或-1,且有,则称为的基本化零向量. 定义3 对给定实数,满足的向量称为的解向量. 定义4 所谓实数域上维线性空间的线性流形,即 其中为的子空间,的固定向量,且的维数称为流形的维数.一维线性流形称为直线,二维线性流形称为平面,更高维线性流形称为超平面. 定义5 满足方程 的正整数解称为勾股数,其中满足的又称为素勾股数（或本原解） 的正整数解称为维勾股数. 0.3研究现状 本文是在研究阅读高等代和高等代数的基础上,并查阅了刘先所写的《关于二次型的介值性》,在此基础之上进一步提出了对二次型解向量的集合的代数结构的讨论,高等代课后习题介绍了二次型化零向量的存在,高等代里面介绍了存在两个线性无关的化零向量,并且在高等代的课后补充题里面还介绍了二次型存在一个维数为的化零子空间,刘先平的《关于二次型的介值性》这篇文章主要是证明了介值定理的存在性而并没有说明二次型解集合的代数结构,这三个已知条件一个比一个深入,但是它们都只是提到了化零向量的存在情况而并没有进一步说明这些化零向量所成的集合的代数结构,虽然高等代里面提到了二次型存在化零子空间,但是它并没有进一步说明这些子空间之间的关系,以及全部化零向量所构成的集合有什么代数结构,因此本文主要讨论的是这些解向量的集合的代数结构. 0.4提出问题 本文主要研究的是二次型解向量所成集合的代数结构.因此提出下例相关问题 二次型全体解向量所构成的集合是否构成线性空间? 二次型全体解向量所构成的集合是否线性流形? 若二次型存在线性流形,那么线性流形是否是唯一的? 二次型的化零向量的构造是否是唯一的 1相关的已知结论 化零向量的存在性最早出现在中 命题 设是一实二次型且