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迎初赛苦练本领系列训练天天练002答案 （2013年元月2日） 姓名得分 一、填空题（） 007．已知关于的不等式：有实数解，则实数的取值范围是 解：考察函数：； 则； 所以，且当时，取到最大值； 故实数的取值范围是． 008．将正偶数集合从小到大按第组有个数进行分组： ，，，┅ ┄ 问：2012位于第组中． 解：显然，2012是数列的第1006项； 设2012位于第组，则有：； 故2012位于第32组． 009．函数的图像对称中心是 解：因为，所以函数图像的对称中心为． 010．已知二次函数，则的最小值是 解：且； 注意到：； 令，则，于是，有； 当且仅当即且时取等号，也就是，时取等号； 所以的最小值为8． 二、解答题（） 011．在一个正六边形的六个区域栽种观赏植物，如图所示，要求同一块中种同一种植物，相邻的 两块种不同的植物，现有4种不同的植物可供选择，则有多少种不同的栽种方案？ 解：第一类：考虑种同一种植物； 这三个区域中有4种情形； 另三个区域即是相互独立的，各有3种情形； 所以此时共有：种方案； 第二类：考虑种两种植物； 这三个区域，先4种选出2种，有种选法； 再安排进去，一定有1种安排在两个区域中，有6种，这三个区域共有36种方法； 另三个区域，在的每一种确定的情况下有：种方法； 所以此时共有：种方案； 第三类：考虑种三种植物； 这三个区域有种方法； 另三个区域在每个确定的情形下有：种方法； 所以此时共有：种方案； 综合上述：一共有：种不同的栽种方案． 012．已知函数； （1）若曲线在点处的切线与曲线有且只有一个公共点，求的值； （2）求证：函数存在单调减区间，并求出单调减区间的长度的取值范围． 解：（1）易知函数的定义域为，，； 所以，在切点处的切线的斜率为，从而切线方程为：； 因为切线与曲线有唯一的公共点， 所以方程：即有且只有一个实数解； 显然，是方程的一个解； 令，则； ①当时，（只有时等号成立）， 于是，在上单调递增，即是方程唯一的实数解； ②当时，由得，， 在区间上，，在区间上，； 所以，函数在处有极大值，且， 而当时，，因此，在内也有一个解，与已知矛盾； 综合上述可知：只有适合题意，即的值为1． （2）易知：且； 所以； 考察函数； 先看判别式：，知与轴一定有两个不同的交点； 再看对称轴：； 而； 所以方程在区间上有两个不同的实数根； 且在上导数小于零即原函数是减函数，从而单调减区间为； 于是，； 而，所以； 故函数存在单调减区间，它的长度的取值范围是． 1