常数项级数的敛散性判别.doc

常数项级数的敛散性判别的一些方法 摘要 常数项级数的敛散性的判别是数学分析中无穷级数的内容,基于审敛准则,其判别方法多样,且具有技巧性.本文参考了已有的相关文献,归纳总结后结合实例,由不等式的利用、Taylor展开式、等价量法、对数判别法、拆项法等方法来判别级数敛散性. 关键词 级数;收敛;发散. Abstract:This paper presents several methods and techniques,including inequalities, Taylor expansions, equivalent variables, and logarithmic criterion ,for testing the convergence of a constant-term series. Key words:series of constant-term series; convergence; divergence. 正文 常数项级数的敛散性判别也算得上是数学分析中的一个小难点,这是由于级数的敛散性是直接与数列的极限联系在一起.未学级数之前,我们先学习了数列,也学习了如何求数列的极限.我们可以体会到在求数列的极限时,会遇到一定的障碍,更不用说是级数.但同学们不必担心,如同求数列极限一样,判别级数收不收敛的方法多样.基于它的审敛准则,结合一些方法与技巧,对级数收敛的判别就不会有太大问题.在解决了常数项级数收敛与否的问题之后,我们才能更深入探究其它级数的其它性质. 首先,将正项级数的审敛准则的内容列出: 定理1.1 正项级数收敛的充要条件是它的部分和数列有上界. 定理1.2 （比较准则I）设和是两个正项级数,并且 (1)若收敛,则收敛; (2)若发散,则发散. 定理1.3 (比较准则II) 设和是两个正项级数,并且 (1)若,则两个数列同时收敛或同时发散; (2)若,且收敛，则收敛; (3)若,且发散,则发散. 定理1.4（积分准则） 设为一正项级数.若存在一个单调递减的非负连续函数,使,则级数与无穷积分同时收敛或 同时发散. 定理1.5（Dalembert准则） 设为正项级数,,并且 (1)若时，则收敛； (2)若（含时），则发散. 定理1.6（Cauchy准则） 设为正项级数,(有限或). （1）若时，则收敛; （2）若（含时），则发散. 正项级数的所有审敛法则都适用于负项级数,其实只要将负项级数的负号提出,就转化为对正项级数的讨论. 其次是变号级数的审敛准则: ,其中,称为交错级数. 定理2.1 (Leibniz准则) 设,且,则交错级数收敛. 且 . 定理2.2(绝对收敛准则) 若级数收敛,则级数收敛. 若绝对值级数收敛,则称级数绝对收敛;若级数收敛,但其绝对值级数发散,则称条件收敛. 有了这些基础知识作为铺垫,现在我们进入对一些方法的探讨. 不等式的利用 在此我们常用到的不等式有以下几种： （1）;（2）;（3）;（4） 个人认为,前三个不等式大家都用得比较熟练,最后一个不等式不太能在做题时想到.对于些题目看似很复杂,但利用不等式后就会豁然开朗.此处是将原数放大,主要运用比较准则. 例1 ,且收敛,证明绝对收敛? (此题利用了不等式,轻松地证明了此题.) 解： 又 、收敛,则收敛, 故绝对收敛. 例2 判别级数的敛散性. 解：利用不等式 有 因为收敛,故收敛. 等价量法 等价量法实际上应用的就是无穷小或大的等价代换,方法简单易掌握,同样也是一种放大缩小的应用. 例3.判别级数的敛散性. 可利用等价代换,但这里先将原式前项改写为的形式. 解：当时，=. 而收敛,故由比较审敛法知原级数收敛. Taylor展开式 Taylor展开式看似与级数完全不沾边,但它该出手时就出手.如下例: 例4.判别级数的敛散性. 解： 原级数发散 对数判别法 此方法对判别“幂指型”或含“”级数很有效.首先介绍一下这个定理： 定理（对数判别法） 设为正项级数,若有， 使当时, (5) 则收敛; 若时,(6) 则发散. 证明如下:若时,不等式(5)成立,则. 由于级数收敛,所以收敛.同理可证当不等式(6)成立时, 发散. 例5.判别级数的敛散性. 解：.对,必存在,使当时, , 故原