概率论小结.docx

越来越发现概率论还是挺有意思的，花点时间小结了一点东西，要是谁发现有啥错误（尤其是第6点反常积分公式的推导），一定要不吝赐教啊。1.两两独立与相互独立：对于n个事件A1，A2，A3，……An，两两独立：这n个事件中任意2个相互独立相互独立：这n个事件中任意k (2≤k≤n)个相互独立因此，相互独立是两两独立的充分不必要条件2．P（AB）=0并不能说明AB为不可能事件，因此并不能说A与B互斥。求一维随机变量函数的分布：对于离散型随机变量，一般用定义法对于连续型随机变量，有两种方法：①公式法②定义法：先求FY(y) = P (Y≤y) = P ( g(X) ≤y) = ,于是fY(y)=F’Y (y)。在这里，我们建议都采用定义法，因为定义法比较容易理解，同时公式法比较难记，而且它有一定的使用前提，而定义法是普遍使用的方法。对于一维随机变量，有P(a≤X≤b)=F(b)-F(a);同样，对于二维随机变量，则是P(a≤X≤b，c≤Y≤d)=F(a,c)+F(b,d)-F(a,d)-F(b,c),这也解释了为何判断一个二元函数能不能作为二维随机变量的分布函数时，需要用“矩形法”来判断的原因。当然，求这类概率亦可用直接用概率密度在相应区间上积分。对于一个二维随机变量的概率密度，将其进行一重积分，得到的是边缘概率密度；将其进行二重积分，得到的是联合分布函数。计算反常积分 的方法：由于这个函数的不定积分结果并不能用初等函数表示出来，所以需要借助标准正态分布函数来求解，其结果为：=（（b）-（a））再查表即可。当然，考试不会考这个难度的，把常见的记住就行。关于条件概率密度取值范围的写法：对一切y∈A, fX∣Y(x∣y)=……，x∈B；或（2）对一切x∈A, fY∣X(y∣x)=……，y∈B。 作为条件的一方，即分母一方，其范围要写在前面。求二维随机变量的函数z=f(x,y)的分布的方法：一般采用定义法。先求出（X,Y）的联合概率密度（一般题目中要么是直接给出该概率密度，要么是给出X和Y各自的概率密度并说它们相互独立），再讨论z的范围，在对应的平面内对联合概率密度进行二重积分，得到z的分布函数，再求导数得到z的概率密度。定义法求解具有一般性，对于考研的同学，须重点掌握。将该小点与上述第3点对比，可总结出求随机变量函数（无论是一维还是多维）的分布或其概率密度的一般方法：用定义法对原概率密度进行积分得到所求函数的分布函数，再求导数得到概率密度。关于期望与方差：无条件性质：① E(CX)=CE(X) , C为常数。 ②E(X+Y)=E(X)+E(Y) ③D(aX+b)= D(X) ④D(X±Y)=D(X)+D(Y)±2cov(X,Y)有条件性质：①若X与Y独立，则E(XY)=E(X)E(Y) ②若X与Y独立，则D(X±Y)= D(X)+D(Y)以下各式互为充要条件：① E(XY)=E(X)E(Y)② D(X±Y)= D(X)+D(Y)③ cov(X,Y)=0④ρXY=0⑤X与Y不相关但要注意，以上各式均为X与Y独立的必要不充分条件，由它们是不能推出X与Y独立的！