(精选)阵列信号处理 第二章 数学基础课件.pptVIP

第二章 数学基础 目的： 复习基本的线性代数知识，作为一个概念和符 号的汇编。 线性代数参考书： G.H. Golub, C.F.Vanloan Matrix omputation, 1983,The Johns Hopkins University Press.(有中译本，大连理工大学出版社，1988) G.Strang,Linear Algerbra and Its Applications, Academic Press,New York ,1976.(有中译本，侯自新译，南开大学出版社，1990) 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 §2.1线性空间和希尔伯特空间 一.符号及定义 符号 以后我们常用字母加低杆表示矢量和矩阵，并且 用小写字母表示矢量，大写字母表示矩阵，如：????????? 线性空间： 关于线性空间和希尔伯特空间的严格定义，读者 可以参阅有关线性代数的教科书，这里仅给出其使用 概念和结论。 所谓线性空间是指满足线性变换关系的矢量 集合 ，这里“满足线性变换关系”是指 严格定义：线性空间首先应满足“加法+”和“数乘 ”的封闭性。 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 希尔伯特空间 希尔伯特空间是指定义了内积的完备线性空间。 式中“ ”表示共轭转置，“*”表示取复共轭。 我们定义两个矢量的内积为： 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 如果 是线性无关，并且不是 如果是最大线性无关组，那么， 的任一线性无关组的真子集，那么， 这个子集 就是 的一个最大线性无关 1） 2） 3）称 是 的一个基。 组。 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 的零空间为: 矩阵 的秩定义为： 矩阵的值域与零空间 给定一组向量，由这组向量张成的子空间容易由以上给出的定义写出。另一种求子空间的方法是给定子空间中矢量的约束条件。如与矩阵有关的两子空间值域与零空间。 设 ，则 的值域（或列空间）为 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 1） 是非奇异的 2） 3） （满秩） 可以证明 ，即矩阵的秩等于最大无关行数或最大无关列数。 ，如果m=n,则如下关系等价： 正交性 矢量的角 设 ，则这两个矢量的夹角余弦定义为： 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 正交性： 1）矢量 正交是指其夹角余弦等于零，即 2）矢量组 是正交的，如果对所有 ，有 正交。如果满足 ，则称之为标准正交的。 3）子空间 称为互相正交的，如果 子空间分解 如果 是线性空间 的子空间，那么它们的和 也是一个子空间 若每一个 有唯一的表达式 则 被称为一个直和，并写为： 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 子空间的交集也是一个子空间，如 。如果 一个子空间 的正交补为 如果矢量 是标准正交的并且张成子空间 则 为直和。 一个重要特例：正交分解 ，则称矢量组 构成子空间 的一个标准正交基。它总可以扩充为 的一组完全的标准正交基 ，此时 。 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 三、线性变换与投影算子 线性空间 上的一个变换 称为线性变换，如果它满足： 在一定基的意义上，一个线性变换 可用一矩阵 表示。用一组基表示它在线性变换 下的象，其坐标所排成的矩阵就称为 在这组基下的矩阵。线性变换与矩阵一一对应。 线性变换 西安电子科技大学雷达信号处理实验室 正交投影算子 一种重要的线性变换是投影算子，而且正交