庞加莱定理猜想的证明及其几何.PDFVIP

庞加莱定理（猜想）的证明及其几何 1 2 3，4 郭巍 ，郭应焕 ，郭振华 (1.犹他大学计算机系,美国,犹他州,盐湖城,weiguo.gr@gmail,com;2.中国科学院高能物理研究所,北 京,100049; 3.西京学院, 西安市长安区西京路 1 号, 710123；4.宝鸡文理学院,物理与信息技术系,陕西,宝 鸡,721007guozhh2670@163.com; 摘要：本文通过两个同伦变换f 0 , f A ，以反演变换f : r ∈On+1 →r ∈On+1 ,r ir R 2 的 in in out out in out 同胚性，普适的证明了庞加莱在 1904 年提出的猜想：任何与 n 维球面On 同伦的n 维闭流形 一定同胚于 n 维球面On ，n 1,2,3,4,... 。并给出定理的几何意义。 关键词：庞加莱猜想，普适证明，同伦变换，反演变换，n 维球面，同伦，n 维闭流形， 同胚，几何 中图分类号： O189，O189.12 , O189.23, O189.3+1 MSC （2000 ）：57M40 ，57N12 1．引言[1] 庞加莱在 1904 年提出的著名猜想：“任何与3 维球面同伦的 3 维闭流形一定同胚于 3 维球面”。后来被推广为“任何与n 维球面同伦的 n 维闭流形一定同胚于 n 维球面”。这个猜 想提出约 30 年后，被英国数学家怀特海（A.N.Whitehead ），和约 60 年后被希腊数学家帕帕 （Papa-kyriakopoulos ）关注，成为代数——拓扑中的一个著名猜想。1961 年，巴西数学家 斯梅尔（Smale ）对这个猜想给出了n ≥5 的证明，轰动了全世界。1983 年，美国数学家弗 里德曼（Freadman ）证明了n 4 ，举世注目。对n 3 的证明成为完成这个著名猜想成立 的最后堡垒。1993 年，美国的理查德.汉密尔顿引入瑞奇流方法。2003 年，俄罗斯数学家格 里戈理．佩雷尔曼（N.Perelman ）基于瑞奇流，在arX 网上公布了对庞加莱猜想n 3 的证明结果。2005 年 10 月，格里戈理．佩雷尔曼的证明获得世界公认。至此，庞加莱猜想 被彻底证明。成就了数学界跨世纪的梦想。然而，代数——拓扑中这个极重要的庞加莱定理， 却需要一篇 300 页的长文（一本书）来对证明进行解读[2] [3]。这无疑使庞加莱定理的重要意 义和对它的应用受到影响。这里我们提出一个普适性方法，可用于对庞加莱定理在任意 n （包 括n 1, 2,3 …）情形下的证明，有利于对代数——拓扑学中这个极重要的庞加莱定理的理 解和应用。从而显示出这个定理的直观几何意义和它的拓扑特性。 2．预备知识 （一）. n+1 维欧几里德空间En+1 的笛卡尔坐标系E n+1 和 n+1 维球S n+1 的n 维球面On . 由于庞加莱猜想与n 维球面On 有关，我们首先在 n+1 维欧基里德空间En+1 中的笛卡儿 n+1 n+1 n+1 2 2 2 n 坐标系E (xk /1 ≤k ≤n +1) ，给出半径R 球S (0 ≤r ∑xk =≤R ) 的球面O 。 1 n+1 R 2 ∑xk 2 . （1） 1 为了方便，对E 取