人教A版高中数学选修2-1课件：第三章章末小结(共135张PPT).pptx

第三章章末小结　1.空间向量的线性运算(1)几何表示:向量的加法满足平行四边形和三角形法则,向量的减法满足三角形法则.(2)代数式表示:=+;=-;=λa(λ∈R).(3)运算律:a+b=b+a(交换律);(a+b)+c=a+(b+c)(结合律);λ(a+b)=λa+λb(分配律).2.平行向量(共线向量)(1)平行向量(共线向量)的定义如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合,则这些向量叫作共线向量或平行向量.a平行于b记作a∥b.(2)共线向量定理对空间任意两个向量a(a≠0)、b,a∥b的充要条件是存在实数λ,使b=λa.(3)直线的方向向量若直线l∥a,非零向量a叫作直线l的方向向量.A∈l,P为l上任一点,O为空间任一点,则满足等式=+ta.3.向量与平面平行(1)向量与平面平行的定义如果表示向量a的有向线段所在的直线与平面α平行或a在平面α内,我们就说向量a平行于平面α,记作a∥α.(2)共面向量的定义我们把平行于同一平面的向量叫作共面向量.(3)共面向量定理如果两个向量a、b不共线,则向量p与向量a、b共面的充要条件是存在实数对x、y,使p=xa+yb.空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x、y,使=x+y,或对空间任一定点O,有=+x+y.4.空间向量基本定理如果三个向量a、b、c不共面,那么对空间任一向量,存在一个唯一的有序实数组x,y,z,使p=xa+yb+zc.其中{a,b,c}叫作空间的一个基底,a,b,c叫作基向量.推论:设O、A、B、C是不共面的四点,则对空间任一点P,都存在唯一的有序实数组x、y、z,使=x+y+z.5.空间向量的数量积向量的数量积:|a||b|cosa,b叫作向量a、b的数量积,记作a·b.即a·b=|a||b|cosa,b.①求角:cos θ=;②求模:|a|=;③ 垂直:a⊥b?a·b=0.6.空间向量的坐标运算已知=a=(x1,y1,z1),=b=(x2,y2,z2),O为坐标原点.(1)a±b=(x1±x2,y1±y2,z1±z2),=(x2-x1,y2-y1,z2-z1),λ·a=(λx1,λy1,λz1)(λ∈R);(2)a·b=x1x2+y1y2+z1z2; (3)|a|=,||=,向量的单位化:=;(4)cosa,b=;(5)a⊥b?x1x2+y1y2+z1z2=0;(6)a∥b(b≠0)?x1=λx2,y1=λy2,z1=λz2(λ∈R).7.平面的法向量(1)若n⊥平面α,则称n为平面α的法向量;(2)若n1⊥平面α,n2⊥平面α,则n1∥n2;(3)求平面α法向量n的一种简单方法:设n=(x,y,z),取平面α内的不共线向量a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2),解不定方程组任取一组解即可,但x、y、z不能同时取0;(4)空间任意向量在平面法向量n上的射影长度d=.8.用向量表示空间的位置关系设直线l、m的方向向量分别为a、b,平面α、β的法向量分别为u、v,则l∥m?a∥b?a=kb;l⊥m?a⊥b?a·b=0.l∥α?a⊥u?a·u=0;l⊥α?a∥u?a=λu.α∥β?u∥v?u=kv;α⊥β?u⊥v?u·v=0.9.空间向量与空间角(1)异面直线a,b所成角cosa,b=,其中a,b分别为直线a,b的方向向量,a=(x1,y1,z1),b=(x2,y2,z2);(2)直线l与平面α所成角:转化为锐角l,n的余角,其中n⊥α,l是直线l的方向向量;(3)二面角α-l-β转化为n1,n2或其补角,其中n1⊥α,n2⊥β.10.空间向量与空间距离(1)两点间的距离||=,其中=(x1,y1,z1),=(x2,y2,z2);(2)点A到平面α的距离d=,其中B是α内任意一点,n是α的法向量.(3)线面距与面面距可转化为点面距来求.　 题型一:空间向量与平行关系如图,在正三棱柱ABC-A1B1C1中,D是AC的中点,求证:AB1∥平面DBC1.【方法指导】线面平行←线与面的法向量垂直←数量积为0.【解析】以A为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系.设正三棱柱的底面边长为a(a0),侧棱长为b(b0),则A(0,0,0),B(a,a,0),B1(a,a,b),C1(0,a,b),D(0,a,0),∴=(a,a,b),=(-a,0,0),=(0,a,b).设平面DBC1的法向量为n=(x,y,z),则∴不妨令y=2b,则n=(0,2b,-a).由于·n=ab-ab=0,因此⊥n.又AB1?平面DBC1,∴AB1∥平面DBC1.【小结】利用空间向量证明线面平行一般有三种方法:(法一)证明直线的方向向量与平面内任意两个不共线的向量共面,即可用平面内的一组基底表示.(法二)证明直线的方向向量与平面内某一向量共线,转化为线线平行,利用