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高等数学第五章定积分教案
第五章 定积分的概念
教学目的与要求:
理解变上限定积分定义的函数,及其求导数定理,掌握牛顿—莱布尼茨公式。
理解广义积分的概念并会计算广义积分。
掌握用定积分表达和计算一些几何量。
第一节 定积分的概念与性质
定义:,
注意(1)积分区间有限,被积函数有界;
(2)与“分法”、“取法”无关;
(3)定积分的值与积分变量的选取无关
;
(4)在有界是在可积的必要条件,在连续是在可积的充分条件。
几何意义:在几何上表示介于,,,之间各部分面积的代数和。
补充规定
性质 性质(1)—(9)(1---7省略)
其中(8)为估计定理:在,,则
(9)中值定理:如在连续,,使
例1.利用定积分几何意义,求定积分值
上式表示介于, , , 之间面积
例2、(估计积分值) 证明
证:
在 上最大值为,最小值为2
∴
∴
第二节 微积分基本公式
10变上限积分
基本定理:设在连续,为上任意一点,
则是可导函数,且
即 说明为的一个原函数。
例3、已知,,
, ,
,
求:
解:
例4、
例5、有极大值的点为 D
A. B. C. D.
例6、如 ,则 B
A. B. C. D.
设在上连续,且,
证明:若f(x)为偶函数,则F(x)也是偶函数
证:
定理设在连续。为在上的任意一个原函数,则有
定积分换元法与分部积分法
③ 奇偶函数在对称区间积分性质,周期函数积分性质
(1) 在连续,
当为偶数,则
当为奇函数,则
(2) ,以T为周期
说明在任何长度为T的区间上的积分值是相等的。
例1、
原式
例2、
例3、
例4、设 则
A、 B、 C、 D、
例5、
法一 设
法二 设 原式
例6、设为连续函数,且 求
解: 设 则
两边积分
∴
例7、(、在连续,且
求、的表达式。
答案: )
例8、设 ,
求
解:
令
(∵)
∴
例9、设 求
解:
例10、已知在上二阶可导,且,及
求
解:原式
例11、设在连续
证明:
证:右边 =
例12、设
求
解:
例13、设连续,,且
求,并讨论在处连续性
解:
得
令
∴
∴ 在连续
即在连续
例14、试证方程 在内有且仅有一实根
证:设 在连续
且:
由介值定理 ,使 F(ζ)=0
即F(x)=0有根
又∵ ,
单增
∴根唯一
例15、设在,连续
试证:内至少一点,使
证:设
则在可导
在上满足罗尔定理条件
∴至少存在一点ζ,使
即
亦即
例16、
例17:
设在连续,可导,且,证明在内,有
证:
在单调减,
故
作业:各章节课后习题。
中值
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