2012年全国各地中考数学解析汇编25_猜想求证型问题.docVIP

2011~2012年全国各地中考数学解析汇编25 猜想求证型问题 1．（2012滨州）我们知道“连接三角形两边中点的线段叫三角形的中位线”，“三角形的中位线平行于三角形的第三边，且等于第三边的一半”．类似的，我们把连接梯形两腰中点的线段叫做梯形的中位线．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，点E，F分别是AB，CD的中点，那么EF就是梯形ABCD的中位线．通过观察、测量，猜想EF和AD、BC有怎样的位置和数量关系？并证明你的结论． 连接AF并延长交BC于点G△ADF≌△GCF，容易看出EF为△ABG的中位线，所以，EF=（AD+BC）解：结论为：EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）．理由如下： 连接AF并延长交BC于点G． ∵AD∥BC∴∠DAF=∠G， 在△ADF和△GCF中，∠DAF=∠G ∠DFA=∠CFG DF=FC ∴△ADF≌△GCF， ∴AF=FG，AD=CG． 又∵AE=EB， ∴， 即EF∥AD∥BC，EF=（AD+BC）． ．； ⑵ 如图（乙），当点P为线段EC上任意一点（不与点E、点C重合）时，其它条件不变，则（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给与证明；若不成立，请说明理由； ⑶ 如图（丙），当点P为线段EC延长线上任意一点时，其它条件不变，则PR与PQ之间又具有怎样的数量关系？请直接写出你的猜想. 【解析】（2）连接BP，过C点作CK⊥BD于点K．根据矩形的性质及勾股定理求出BD的长，根据三角形面积相等可求出CK的长，最后通过等量代换即可证明；（3）图3中的结论是PR-PQ=. 【答案】解：（2）图2中结论PR+PQ=仍成立．证明：连接BP，过C点作CKBD于点K． ∵四边形ABCD为矩形，BCD=90°，又CD=AB=3，BC=4，BD= ∵S△BCD=BC?CD=BD?CK， 3×4=5CK，CK= ∵S△BCE=BE·CK，S△BEP=PR?BE，SBCP= PQ·BC，且SBCE=S△BEP+S△BCP， BE?CK=PR?BE+PQ?BC 又BE=BC，CK=PR+PQ，PR+PQ= （3）连接BP，S△BPE-S△BCP=S△BEC，S△BEC 是固定值，BE=BC 为两个底，PR，PQ 分别为高，图3中的结论是PR-PQ=． 【点评】本题考查了矩形的性质及勾股定理，关键是掌握好矩形的性质．．【解析】观察图形发现：内部每多一个点，则多2个三角形，从而得到一般规律为n+2(m-1)或2m+n-2.根据根据规律逐一解答. 【答案】探究三：7 分割示意图.（答案不唯一）. 探究四：3+2（m-1）或2m+1 探究拓展：4+2（m-1）或2m+2 问题解决：n+2(m-1)或2m+n-2 实际应用：把n=8,m=2012代入上述代数式，得2m+n-2=2×2012+8-2=4024+8-2=4030. 【点评】本题考查规律型中的图形变化问题，解题关键是结合图形，探寻其规律，发现规律才能顺利解题，体现特殊到一般的数学思想．难度中等。 4．（2012遵义）猜数字游戏中，小明写出如下一组数：，，，，…，小亮猜想出第六个数字是，根据此规律，第n个数是　　．根据分数的分子是2n，分母是2n+3，进而得出答案即可．解：∵分数的分子分别是：2 2=4，23=8，24=16，… 分数的分母分别是：2 2+3=7，23+3=11，24+3=19，… ∴第n个数是． 故答案为：．此题主要考查了数字变化规律，根据已知得出分子与分母的变化规律是解题关键 问题情境 如图，在x轴上有两点A（m,0）,. 特例探究 填空： 当m=1,n=2时，=____,=______. 当m=3,n=5时，=_____,=______. 归纳证明 对任意m, n（nm0）与的大小关系，并证明你的猜想 拓展应用. 若将“抛物线y=x2”改为“抛物线y=ax2（a0）”与的大小关系. 连接EF， AE．当时，直接写出m和n的关系及四边形OFEA的形状． 【解析】【特例探究】【归纳证明】都是【拓展应用】（1）的特殊情况，因此以【拓展】（1）为例说明前三小问的思路：已知A、B的坐标，根据抛物线的解析式，能得到C、D的坐标，进而能求出直线OC、OD的解析式，也就能得出E、F两点的坐标，再进行比较即可．最后一小题也比较简单：总结前面的结论，能得出EF∥x轴的结论，那么直角梯形OFEB的面积和△OFE的面积比例关系，能判断出EF、OA的比例关系，进而得出m、n的关系，再对四边形OFEA的形状进行判定． 【答案】解：特例探究 当m=1，n=2时，A（1，0）、B（2，0）、C（1，1）、D（2，4）； 则：直线OC的解析式为：y=x；直线OD解析式为：y=2x； ∴F（1，2）、E（2，2）；即．同理：当m=3，n=5时，． 归纳证明 猜想