第五章 控制系统的稳定性、.docVIP

5 控制系统的稳定性、可控性与可观性测性 5.1 控制系统的稳定性 5.1.1 稳定性概念及意义 系统的稳定性是控制系统设计的首要问题和首要条件。 一般意义下的稳定是这样一个概念，若系统具有平衡状态，当外界系统的干挠使系统偏离平衡状态后，如果系统能消除干扰恢复平衡，则系统是稳定的，否则是不稳定的。 现以图5.1、图5.2所示的简单的力学系统来分析和了解系统稳定性的一些概念和意义。 图5.1 L型稳定平衡状态 图5.2 稳定平衡与不稳定平衡 1、稳定 图5.1 所示的单摆系统，假设没有空气阻力，如将其稍微拉离平衡位置，单摆将永远在平衡状态周围不停地来回摆动，不会回到初始状态，控制论中称之为Lyapunov稳定（L—稳定），数学上可以这样描述。 有系统： （5.1—1） 如果，对于任意实数总存在若使 以及 对于所有t≥to成立，Xe 称为L—稳定 2、小范围渐近稳定（asymptotic ully stable in the small） 图5.2 (a)所示三角锥体，加上外部作用后使其倾斜，只要倾斜时通过其重心的垂直线不超过底面，外部作用去掉后它将返回初始平衡状态，但只要超过这一范围，即便外部作用去掉后三角锥也不能再回初始状态，这是一种小范围的稳定，数学上可如下描述。 系统（5.1—1）平衡状态Xe是稳定的，对于从充分接近Xe =0的任意一个初始状态Xo出发的轨迹在时，收敛于Xe =0，则称Xe = 0为Lyapunov意义下的渐近稳定。 同时，如果给出任意实数，总存在实常数r 0和有及 当tT(ε) ， 则称Xe为小范围渐近稳定。 3、大范围渐近稳定 再回到图5.1所示单摆系统，如果存在空气阻力，不论初始外部作用引起的摆幅多大，单摆的振幅随时间将逐渐减小，最终回到图5.1(a)所示静止位置（平衡状态），这是一种大范围的渐近稳定。数学描述为： 若系统（ 5.1-1），对于任何初始点X0，从X（to）出发的轨迹X(t)在t→∞时，总有 lim X(t)=Xe. 则称Xe=0为Lyapunov意义下的大范围渐近稳定（或全局渐近稳定）。 4、不稳定 图5.2(b)所示的倒立三角锥，由于与底面接触的只有一点，对于任何微小的倾斜，通过重心G的垂线就不再过项点，三角锥必然翻倒，这种平衡状态则为不稳定平衡状态。 5.1.2 稳定性判别 尽管系统稳定性问题至关重要，但长期来稳定判据在应用上并不完善。1892年，俄国学者Lyapunov提出了两种分析方法、间接法和直接法：前者的基本思路是解出系统的状态方程，然后根据状态方程的解判别系统的稳定性；后者则是建立在能量分析基础上，认为若系统的平衡状态是渐近稳定的，则系统激励后其储存的能量将随时间的推移而衰减，当趋于平衡状态时，其能量达最小值。反之，若系统的平衡状态是不稳定的，则系统将不断地从外界吸收能量，其储存的能量将越来越大。 可是在相当长的时间内Lyapunov的方法并未被广泛应用。其中原因之一是用数学方法求解特征方程往往是不容易的，工程技术应用中，常用的是一些代数方法，如Routh判据、Nyquist判据等，这是一些间接的方法。 根据Lyapunov第一方法，线性定常系统渐近稳定的充分必要条件是系统状态方程式的A阵所有特征值都具有负的实部，这意味着： 对于连续系统。如果闭环极点全部位于S平面左半平面，则该系统是稳定的。 对于离散系统。如果系统全部极点位于Z平面单位园内，则该系统是稳定的。 MATLAB可以用数值计算方法直接求出特征方程的根，并提供了专门函数，如eig（ ）可直接用于求系统的特征值，roots（ ）可以求一个多项式的根。这为我们进行系统稳定性分析带来极大方便。更为方便的是，MATLAB中可利用系统零极点形式模型函数ZPK（ ）在S平面或Z平面上绘出系统的所有零点和极点，由此判断系统的稳定性。 例5.1 已知离散系统，试判断系统稳定性，并绘出零、极点分布图。 用MATLAB编写的程序如下，（chp5-1.m） %========== System Stable ============ num=[2 -3.4 1.5]; den=[1 -1.6 0.8]; [A B C D]=tf2ss(num,den); ts=0.01; [Ad,Bd]=d2c(A,B,ts); [numt,dent]=ss2tf(Ad,Bd,C,D); % [z,p,k]=tf2zp(numt,dent) figure(1) pzmap(numt,dent) %computes the poles and zeros of System %and plots them in the comp