中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试题解答.docVIP

中科院数学与系统科学研究院2006年-高等代数试题解答 广西大学数信学院动力系统方向 王磊杰 作答 (仅供参考) 第一题：已知为实数，求的行列式的值. 将记作，按第一行展开得.解方程得解 =，=.所以，进一步有： 逐步递推有： 显然，. 所以当和不相等时，即时，=，注意到和，计算得：=. 当和相等时，利用逐步递推得： = = ……………………….. = = 所以：= 第二题： . 令分块矩阵，其中为矩阵.将看成行列式，则最后一行对应的代数余子式为.因为行列式某一行元素与另外一行元素的对应代数余子式的乘积的和等于零，所以 即： 其中，所以是已给方程组的解. 若的秩为，则方程组的解空间的维数是1，是解空间的基，所以任意解都是的倍数. 第三题： 令则，所以，的特征值为和. 解方程组，得特解.解方程组，得特解.令 ，且由行变换可知：.所以 = =，.即 注:，.这个极限分为依模收敛和依幅角收敛，详见复变函数 第四题： 令，则，恰为将的每个元素向它的正上方移动次所得矩阵，利用二项式定理得：.所以的第一行元素之和为：. 第五题： 显然，其中 =，将其按第一行展开得：，所以 当是偶数时，||=0, 不可逆，线性相关； 当是奇数时，||=2，可逆，线性无关. 第六题： 显然是二次型对应的对称矩阵，且正交矩阵将化为对角形式，即，即，所以它们的迹相等，所以，而且它们的行列式也相等(因为正交),所以，所以.令，解方程组得相应的单位向量解： ，， 所以 第七题： 由已知可得 ，所以的特征值只可能是1，或2，或3. 另外有以下事实： 若是正交矩阵，是单位向量，则是单位向量(因为)；若是单位向量，则的解向量是单位向量，（因为是单位向量）.对称，所以存在正交矩阵使 其中为的特征值且. 所以，当时， , 令，则 ，且当=时，等号成立.即 第八题： 首先给出以下事实： 若是方阵，且存在正整数使得，则对任意正整数，有 .因为，所以和的解空间的维数相同，显然的解就是的解，所以它们的解空间相同.考虑和 .设是的解，则是的解，所以是的解， 即是的解，显然的解就是的解，所以 的解空间和 的解空间相同，所以，归纳的有： 现在考虑本题，因为是给定的幂零阵，不妨设，但，则由上面的论证可知，所以.取为(分块对角矩阵),其中，易知，但且，但，. 设可逆矩阵使化为Jordan标准型：，其中为Jordan块(形如上面的),的对角元全是0,且的阶小于等于.令 = 则易知的对角线上的Jordan块个数越多，的秩就越小，的秩就越小.令2006=，其中.当不为0时，此时可令 . 其中为Jordan标准型，且 则，其中表示不小于的最小整数. 若等于0，令 ，其中 此时 所以，所以的非零独立解个数的最大值和最小值分别为和 说明：其中表示不小于的最小整数，和通常的定义不同，这里是为了形式上的统一. 第九题： 设是有限维向量空间上的线性变换，且是上的恒等变换，这里是某个正整数.设.证明是的一个子空间，并且其维数等于线性变换的迹. 设是m维的线性空间，取定的基，设对应的m阶矩阵为，则. 考虑，则的(形式)导数与互素，所以无重根，进一步有：的最小多项式无重根，所以可对角化.存在可逆矩阵使， 其中为的特征根，他们有可能相同，. 所以 = 令 当时，由及等比公式知：=0. 所以 当1不是的特征值时，是零空间，它的维数是0，此时的对角元全是0，迹是0,所以的迹是0，即的迹是0，命题成立. 若1是的t重特征值，此时的对角元当中有t个值是，其余全是0, 的迹是t,所以的迹是t，即的迹是t，此时是1的特征子空间，维数是t，命题成立.