自动控制理论-14绘制根轨迹的基本法则.pptVIP

4、实轴上的根轨迹（ ） 5、根轨迹渐进线有 条，故渐进线就是负实轴 6、根轨迹与实轴分离点坐标 → 是根轨迹区间的点，它是两条根轨迹在实轴上的分离点。 7、根轨迹的起始角 二、开环极点变化时的根轨迹 有时控制系统需改变开环极点(如滤波器)，参数同样可以借助根轨迹来确定。具体方法与零点变化根轨迹相似。 例2 设系统开环传递函数为 证明该系统根轨迹是一个圆. 取一试探点s，若s点在根轨迹上，则应满足相角方程 等号左边利用反三角函数的恒等式关系 两边取正切 化简上式得 → 此乃圆的方程，圆心（－Z，0）是开环零点，半径为两个极点P1、P2至零点的距离相乘后的平方根。 三、零度根轨迹 若开环相角遵循2kπ条件，而不是(2k+1)π条件，则根轨迹为零度根轨迹。一般来说，零度根轨迹的来源包含两个方面，其一是非最小相位系统；其二是控制系统中包含有正反馈回路。非最小相位系统，指s平面右半部分具有开环零极点的控制系统。 上图所示的正反馈回路中，其闭环传递函数为 回路的特征方程为 相应的根轨迹方程为 其模值方程和相角方程分别为 (1)实轴上的根轨迹：实轴上根轨迹区段的右侧实轴上，开环零点和极点数目之和应为偶数。 (2)根轨迹的渐近线：渐近线与实轴的交点 与常规根轨迹相同；而渐近线与正实轴的夹角应改为 (3)根轨迹的起始角和终止角： a、离开开环极点时的起始角改为 将上述二式与常规根轨迹的相应公式进行比较可知，它们的模值方程相同，仅相角方程有所改变。因此常规根轨迹的绘制方法稍做变动即可用于绘制零度根轨迹。 b、进入开环零点时的终止角改为 例3 设单位正反馈系统的开环传递函数为 试绘制 由 变化时的根轨迹。 解： (1)系统有一个零点 ，两个极点 。有2条根轨迹，分别起于p1、p2，终于z和无穷远处。 (2)实轴上的根轨迹区间 。 (3)根轨迹在实轴上的分离点 得： 则d1为分离点。根轨迹的分离角为 (4)开环复数极点 的起始角 (5)根轨迹的渐近线 比较虚线与实线轨迹： (1)实轴上正反馈系统的根轨迹没有经过的区间，恰好由相应的负反馈系统的根轨迹所填补。 (2)在任一开环复数极点（或零点）处，正、负反馈系统根轨迹的起始角（或终止角）恰好相差180度。 。 作业（14） 第四章 根轨迹法 一 根轨迹的分支数 4-2 绘制根轨迹的基本法则 二 根轨迹的连续性与对称性 三 根轨迹的起点和终点 四 实轴上的根轨迹 五 根轨迹的渐近线 例1.设控制系统如图所示，其开环传递函数为 画出渐近线。 解：将开环零点、极点标注在s平面的直角坐标系上，以“×”表示开环极点，以“○”表示开环零点。在根轨迹绘制过程中，由于需要对相角和模值进行图解测量，所以横坐标与纵坐标必须采用相同的比例尺。 由法则3，根轨迹起于 的极点 ， 和 ， 终于 的有限零点 以及无穷远处。 由法则1，根轨迹的分支数有4条，它们是连续的且对称于实轴。 由法则5，有 条根轨迹渐近线，它们的交点为 各渐近线与实轴的交角分别为 六、根轨迹的起始角与终止角:根轨迹离开开环复数极点处的切线方向与正实轴方向的夹角,称为起始角,以 表示，见图4-10 ；根轨迹进入开环复数零点处的切线方向与正实轴方向的夹角，称为终止角，以 表示，见图4-10 在右图所示的根轨迹上取一试验点 ，使 无限地靠近开环复数极点 ,即认为 ,则这时 ，依据相角方程有 = → → 同理可得 = 例2 设系统开环传递函数 试计算起始角和终止角。 解 板书 七、根轨迹的分离点坐标d 定义：几条（两条或两条以上）根轨迹在s平面上相遇又分开的点。 若根轨迹位于实轴两相邻开环极点之间，则此二极点之间至少存在一个分离点。 分离点的坐标d可由下面方程求得 式中： 为各开环零点的数值， 为各开环极点的数值。 一般采用极值法求分离点坐标 闭环系统特征方程为 设 且 联立二式，消去K*，得： 从这个公式中解得的s就是所求的分离点。 也可采用下式 本题的实轴根轨迹区间为 和 ，因s2不在根