高斯消去法的计算步骤.ppt

3.2.4 高斯主元素消去法 交换原则：通过方程或变量次序的交换，使在对角线位置上获得绝对值尽可能大的系数作为akk(k)，称这样的akk(k) 为主元素，并称使用主元素的消元法为主元素法 根据主元素选取范围分为：列主元素法、行主元素法、全主元素法 主元素法的意义 全主元素法不是按列选主元素，而是在全体待选系数中选取，则得全主元素法。 例3.3 用全主元素法解下列线组 计算m21=-19/40=0.475，m31=4/40=0.1 (5)- m21(4), (6)- m31(4) 消去x2 得 保留有主元素的方程 3.2.4.1 列主元素法 列主元素法就是在待消元的所在列中选取主元，经方程的行交换，置主元素于对角线位置后进行消元的方法。 例3.4 用列主元素法解下列线性方程组 (5)- m21(4), (6)- m31(4)得 保留有主元素的方程 为了研究线性方程组近似解的误差估计 和迭代法的收敛性, 有必要对向量及矩阵的 “大小”引进某种度量----范数的概念。向量范 数是用来度量向量长度的,它可以看成是二、 三维解析几何中向量长度概念的推广。用Rn 表示n维实向量空间。 定义3.2 对任一向量X?Rn, 按照一定规则确定一个实 数与它对应, 该实数记为||X||, 若||X||满足下面三个 性质: (1) ||X||?0；||X||=0当且仅当X=0； (2) 对任意实数?， || ? X||=| ? | ||X||； 对任意向量Y?Rn，||X+Y|| ? ||X||+||Y|| 则称该实数||X||为向量X的范数 在Rn中，常用的几种范数有： 当不需要指明使用哪一种向量范数时，就用记号||.||泛指任何一种向量范数。 有了向量的范数就可以用它来衡量向量的大小和表示向量的误差。 设x*为Ax=b的精确解，x为其近似解，则其绝对误差可表示成||x- x* ||，其相对误差可表示成 定义3.5（矩阵的范数）如果矩阵 的某个非负的实值函数 ，满足 将A=LLT展开，写成 按矩阵乘法展开，可逐行求出分解矩阵L的元素，计算公式是对于i=1,2,…,n j=i+1, i+2,…,n 这一方法称为平方根法,又称乔累斯基(Cholesky)分解,它所需要的乘除次数约 为数量级,比LU分解节省近一般的工作量。 例3.9 平方根法求解方程组 解: 因方程组系数矩阵对称正定,设A= ,即： 由Ly=b解得 由 解得 由此例可以看出，平方根法解正定方程组的缺点是需要进行开方运算。为避免开方运算，我们改用单位三角阵作为分解阵，即把对称正定矩阵A分解成 的形式，其中 为对角阵，而 是单位下三角阵,这里分解公式为 据此可逐行计算 运用这种矩阵分解方法,方程组Ax=b即 可归结为求解两个上三角方程组 和 其计算公式分别为 和 求解方程组的上述算法称为改进的平方根法。这种方法总的计算量约为 ，即仅为高斯消去法计算量的一半。 3.5 追赶法 在数值计算中,有一种系数矩阵是三对角方程组 简记为Ax=f,A满足条件 （1） （2） （3） 用归纳法可以证明，满足上述条件的三对角线性方程组的系数矩阵A非奇异，所以可以利用矩阵的直接三角分解法来推导解三对角线性方程组的计算公式，用克洛特分解法，将A分解成两个三角阵的乘积，设A=LU 按乘法展开 则可计算 可依次计算 当， 由上式可惟一确定L和U。 = = y1 y2 y3 … f1 f2 fn … y1 y2 yn … … x1 x2 xn 例3.9 用追赶法求解三对角方程组 解 由Ly=f 解出y 又由Ux=y 解出x 开始 输入数据 c1/ b1? r1 d1/ b1? y1 2? i bi –ri-1ai?q ci /q? ri (di –yi-1ai)/q?yi in-1? (dn-1 –yn-2an-1) (bn-1-rn-2an-1) yi –ri xi+1?xi i=n-2,n-3,…,1 输出x1,x2,…,x1 结束 追赶法流程图 ?yn-1 y i+1?i n 记笔记 3.6 向量和矩阵的范数 记笔记 3.6 向量和矩阵的范数 记笔记 其中x1,x2, …,xn分别是X的n个分量。以上定义的 范数分别称为1-范数，2-范数和?-范数 可以验证它们都是满足范数性质的，其中 是由内积导出的向量范数。 3.6 向量和矩阵的范数 记笔记 3.6 向量和矩阵的范数 或 例3.10 证明对任意同维向量x , y 有