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第三冊 1-4向量-平面向量的應用 【應用】 1. 柯西不等式(Cauchys Inequality)： (1)向量形式： v v 設 a,b 為平面上任意二向量， v v v v v v v v v v 則 | a ⋅b |≤| a || b | (或−| a || b |≤| a ⋅b ≤| a || b | )， v v v v 等號成立的充要條件是a // b a,b 或 中有零向量。 證明： v v v v v v | cosθ|≤1 因為 | a ⋅b | || a || b | cosθ|≤| a || b |, 為其夾角( )， θ v ⇔| cosθ| 1 v 等號成立 或 π ⇔a // b 。 ⇔θ 0 (2) 坐標形式： v v 設 a , a ,b ,b 為任意實數，令 a (a ,a ),b (b ,b ) ， 1 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 2 2 則 (a +a )(b +b ) ≥(a b +a b ) ， 1 2 1 2 1 1 2 2 等號成立的充要條件為a1 : b1 a2 : b2 ， 即是 a b a b 。 1 2 2 1 證明： v v a,b 設 的夾角為 θ ， v v a ⋅b 則 cosθ v v | a || b | v v 2 a ⋅b 2 ⇒cos θ ( v v ) ≤1