第七章直线和圆的方程两直线的位置关系.docVIP

题目 第七章直线和圆的方程 掌握两条直线相交、平行、垂直、重合等位置关系的判别方法，两条直线的夹角公式和到角公式，点到直线的距离公式及两条平行线间的距离公式 知识点归纳 1．特殊情况下的两直线平行与垂直． 当两条直线中有一条直线没有斜率时：(1)当另一条直线的斜率也不存在时，两直线的倾斜角都为90°，互相平行； (2)当另一条直线的斜率为0时，一条直线的倾斜角为90°，另一条直线的倾斜角为0°，两直线互相垂直 2．斜率存在时两直线的平行与垂直： 两条直线有斜率且不重合，如果它们平行，那么它们的斜率相等；反之，如果它们的斜率相等，则它们平行，即且 已知直线、的方程为：， ： ∥的充要条件是 ⑵两条直线垂直的情形和，则这两条直线垂直的充要条件是． 已知直线和的一般式方程为：， ：，则． 3直线到的角的定义及公式： 直线按逆时针方向旋转到与重合时所转的角,叫做到的角 到的角：0°＜＜180°， 如果如果， 4．直线与的夹角定义及公式: 到的角是, 到的角是π-,当与相交但不垂直时, 和π-仅有一个角是锐角,我们把其中的锐角叫两条直线的夹角当直线⊥时,直线与的夹角是夹角：0°＜≤90° 如果如果， 5．两条直线是否相交的判断 两条直线是否有交点，就要看这两条直线方程所组成的方程组： 是否有惟一解 6．点到直线距离公式： 点到直线的距离为： 7．两平行线间的距离公式 已知两条平行线直线和的一般式方程为：， ：，则与的距离为 8 直线系方程:若两条直线：，：有交点，则过与交点的直线系方程为＋或+ (λ为常数) 题型讲解 例8 求直线:2+-5=0,: +3-4=0的夹角，到的角，到的角 解：由两条直线的斜率=-2,=-，得 tan=，tan＝1，＝，=π-＝ 点评:夹角是指两条直线所夹的锐角，不用考虑顺序一条直线到另一条直线的角(简称为“到角”)有直线的先后顺序问题，其范围应大于0且小于 π 例9 求经过点(2，3)且经过以下两条直线的交点的直线的方程： :+3y-4=0, :5+2y+6=0 解法一：解方程组 ,所以与的交点是(-2,2)，由两点式得所求直线的方程为,即-4y+10=0 解法二:可设所求直线方程为+3y-4+λ(5+2y+6)=0(λ∈R）， ∵点(2，3)在直线上 ∴2＋3×3－4＋λ（5×2＋2×3＋６）＝0，λ＝－ ∴所求直线方程为+3y-4+(-)(5+2y+6)=0即-4y+10=0 例10 求点P（3，－2）到下列直线的距离： (1)y＝；（2）y＝6；（3）y轴 解：(1)把方程y＝写成3－4y＋1＝0 由点到直线的距离公式得d＝ (2)因为直线y=6平行于轴，所以d＝｜6－（－2）｜＝8 （3）d＝｜3｜＝3 说明：求点到直线的距离，一般先把直线的方程写成一般式，对于与坐标轴平行的直线，=a或y=b，求点到它们的距离，既可用点到直线的距离公式也可以直接写成d＝｜x0－a｜或d＝｜y0－b｜ 例11 求与直线：5-12y+6=0平行且到的距离为2的直线的方程 解：设所求直线的方程为5-12y+c=0在直线5-12y+6=0上取一点P0（0，），点P0到直线5-12y+c=0的距离为 d=，由题意得=2所以c=32或c=-20 所以所求直线的方程为5-12y+32=0和5-12y-20=0 说明：求两条平行线之间的距离，可以在其中的一条直线上取一点，求这点到另一条直线的距离即把两平行线之间的距离，转化为点到直线的距离 例12 已知正方形的中心为G（－1，0），一边所在直线的方程为＋3y－5＝0，求其他三边所在直线方程 解：正方形中心G(－1，0)到四边距离均为 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为＋3y－c1＝0 则，即｜c1＋1｜＝６解得c1＝5或c1＝7 故与已知边平行的直线方程为+3y+7=0 设正方形另一组对边所在直线方程为3－y＋c2＝0 则，即｜c2－3｜＝6解得c2＝9或c2＝－3 所以正方形另两边所在直线的方程为3-y+9=0和3-y-3=0 综上所述，正方形其他三边所在直线的方程分别为： +3y+7=0、3-y+9=0、3-y-3=0 说明：本例解法抓住正方形的几何性质，利用点到直线的距离公式，求得了正方形其他三边所在直线的方程 小结： 1．数形结合是解析几何的突出特点，在解解析几何题时应予以足够重视，并注意利用平面几何知识加以简化; 2．解析几何问题往往在解题时入手的地方较多，但不同的解法繁简程度则大有区别，故在平时训练中应注意采用一题多解的方法，这样做一可以训练基本技能，二有利于开拓思路，优化解题方案 3直线的各种形式均有它的优越性，应在不同的题设下灵活运用，要注意当直线斜率不存在时的特殊情况