知识体系5.docVIP

第十讲 统计与概率 一、排列组合与二项式定理 计数原理 加法原理：N=n1+n2+n3+…+nM (分类) ②乘法原理：N=n1·n2·n3·…nM (分步) 排列（有序）与组合（无序） Anm=n(n－1)(n－2)(n－3)…(n－m+1)= Ann =n! Cnm = Cnm= Cnn－m　　Cnm＋Cnm＋1= Cn+1m+1 k?k!=(k+1)!－k! 排列问题的解题思想方法： 直接法——体现合理分类（不重不漏）； 间接法——体现逆向思维（正难则反） 组合数公式有连乘和阶乘两种形式，常分别用计算和证明。组合数的性质常用于等式证明和简化计算。 解有限制条件的组合题，通常有直接法（合理分类）和间接法（逆向思维）。 解组合应用题时，注意“至少”、“最多”、“恰好”等词的含义 排列组合混合题的解题原则：先选后排，先分再排 排列组合题的主要解题方法：优先法：以元素为主，应先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素. 以位置为主考虑，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.　　 捆绑法（集团元素法，把某些必须在一起的元素视为一个整体考虑）　　 插空法（解决相间问题）　　间接法和去杂法等等 在求解排列与组合应用问题时，应注意： (1)把具体问题转化或归结为排列或组合问题； (2)通过分析确定运用分类计数原理还是分步计数原理； (3)分析题目条件，避免“选取”时重复和遗漏； (4)列出式子计算和作答. 经常运用的数学思想是： ①分类讨论思想；②转化思想；③对称思想. 二项式定理： ①(a+b)n=Cn0ax+Cn1an－1b1+ Cn2an－2b2+ Cn3an－3b3+…+ Cnran－rbr+…+ Cn n－1abn－1+ Cnnbn 　 特别地：(1+x)n=1+Cn1x+Cn2x2+…+Cnrxr+…+Cnnxn ②通项为第r+1项：　Tr+1= Cnran－rbr 作用：处理与指定项、特定项、常数项、有理项等有关问题。 ③主要性质和主要结论：对称性Cnm=Cnn－m 最大二项式系数在中间。（要注意n为奇数还是偶数，答案是中间一项还是中间两项） 所有二项式系数的和：Cn０+Cn1+Cn2+ Cn3+ Cn4+…+Cnr+…+Cnn=2n 奇数项二项式系数的和＝偶数项而是系数的和 Cn０+Cn２+Cn４+ Cn６+ Cn８+…＝Cn１+Cn３+Cn５+ Cn７+ Cn９+…=2n?-1 5.注意二项式系数与项的系数（字母项的系数，指定项的系数等，指运算结果的系数）的区别，在求某几项的系数的和时注意赋值法的应用。 二项式定理的应用：解决有关近似计算、整除问题，运用二项展开式定理并且结合放缩法证明与指数有关的不等式。 基础训练： 1、已知二项式(－)7展开式的第4项与第5项之和为零，那么等于（ ） A．1 B． C．2 D．46 答案：C 2、从10名女学生中选2名，40名男生中选3名，担任五种不同的职务，规定女生不担任其中某种职务，不同的分配方案有（ ） A． B． C． D． 答案：B 3、若，则 的值是 （ ） A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：B 4、二项式（1－）10的项的系数________（请用数字作答）. 答案：－. 答案：56 二 统计 1．总体和样本 ①在统计学中 , 把研究对象的全体叫做总体． ②把每个研究对象叫做个体． ③把总体中个体的总数叫做总体容量． ④为了研究总体的有关性质，一般从总体中随机抽取一部分：， ， ， 研究，我们称它为样本．其中个体的个数称为样本容量． 2．抽样方法：1简单随机抽样：包括随机数表法，标签法； 2系统抽样 3分层抽样 简单随机抽样是其它各种抽样形式的基础。通常只是在总体单位之间差异程度较小和数目较少时，才采用这种方法。在简单随机抽样的样本容量设计中，主要考虑：①总体变异情况；②允许误差范围；③概率保证程度。 4．样本平均数： 样本方差：S2?=[(x1－)2+(x2－)2+ (x3－)2+…+(xn－)2] 样本标准差：s= 作用：估计总体的稳定程度 理解频率直方图的意义，会用样本估计总体的期望值和方差，用样本频率估计总体分布。 基础训练： 1．抽查汽车排放尾气的合格率，某环保单位在一路口随机抽查，这种抽样是（ ） A．简单随机抽样　　　B．随机数表法 C．系统抽样　　　　　D．分层抽样 2．一个总体中共有10个个体，用简单随机抽样的方法从中抽取一容量为3的样本．则某特定个体人样的概率是（　） A．　　　B．　　　C．　　 D． 3．分层抽样适用的范围是（　） A．总体中个数较少　B．总体中