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函数的概念 * * 一、函数的定义 设在某变化过程中有两个变量x、y，如果对于x在某个范围D内的每一个确定的值，按照某种对应法则f，y都有唯一确定的值与它对应，那么y就是x的函数，记作：y=f(x),x叫作自变量。 构成函数概念的三要素 ①定义域②对应法则③值域 .其中对应法则是核心 两函数相同的充要条件是函数的三要素相同，但当定义域和对应法则确定时，值域也随之确定，所以只需看定义域和对应法则是否一致。 Ex：若 则 __________, ___________ Ex：函数 的图象与y轴的公共点有____个。 Ex：已知下列四组函数： 表示相同函数的序号是______________ 二、反函数 设函数 定义域为D，值域为A，由 求出 ，若对于A中的每一个值y，在D中都有唯一确定的值和它对应,那么 叫做以y为自变量的函数,这个函数 叫做函数 的反函数，记作 ,通常情况下，一般用x表示自变量，所以记作： 注：若 互为反函数,则：(1) 定义域和值域分别是 的值域和定义域；(2) 和 对应法则互逆；(3)两者图象关于直线y=x对称。 1、反函数概念： 2、求反函数的一般步骤如下： 无反函数 x不是y的函数 反解 互换x与y x是y的函数 探求 互换x与y (定义域) 图示说明函数与反函数的关系： 3、反函数的性质 若点 在 的图象上,则点 在 的图象上，即： 定义域值域互换；图象关于直线 对称；具有相同的单调性；奇函数的反函数还是奇函数； (1)互为反函数之间的关系： (2) 反函数是其自身： ；定义域和值域相等； 的图象关于直线 对称。 Ex：给定实数 ，设函数 证明这个函数的图象关于直线y=x成轴对称图形。 练习：函数 的图像关于直线y=x对称，确定a,b的关系。 b=2a Ex：(03上海高考) 四点中，函数y=ax的图象与其反函数的图象的公共点只可能是( ) A.P B.Q C.M D.N D 判断：若函数y=f(x)与反函数y=f-1(x)的图象有交点,则交点必在直线y=x上. 不一定 Ex： 求下列函数的反函数 Ex：已知函数 的图象过点 ，又 的反函数 图象过点 ，求 Ex：若函数 ，则 ______ Ex：若函数 ，则 ____ Ex：若函数 的图象过点 ，则 反函数的图象必经过点 . 注意:“f(x+1)的反函数” 与“ f-1(x+1) ”的区别. Ex： ，若函数 的图象与 的图象关于直线 对称，求 例：已知 ，求 的反函数. 两者的流程图是完全不同且不能互相转换的 Ex： 的反函数为 ，则 的反函数为______________ 三、函数的定义域 由函数解析式确定函数定义域，要掌握以下几点： （1）分式的分母不为零； （2）偶次方根的被开方数大于等于零； （3）零次方的底数不能为零； （4）对数的真数必须大于零； （5）指数函数和对数函数的底数必须大于零且不等于1； 如果函数是由一些基本函数通过四则运算而得到的，那么它的定义域是各基本函数定义域的交集。 Ex：求下列函数的定义域 复合函数： 定义:函数y=f(u),u=g(x),称函数y为自变量x的复合函数,记作：y=f[g(x)],其中u=g(x)称为中间函数. 例：函数 的定义域是 ，求函数 的定义域. 注：1、 的定义域指的是自变量 的取值范围，不是 的范围； 2、 与 的中间函数范围一致。