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圆 3．1知识结构 3.2考点例析 圆心角和圆周角之间的关系 1、求互余圆周角的大小 特点：所求的圆周角与已知的圆周角构成互为余角。因此，所求的圆周角的大小就等于 90°减去已知圆周角的度数。 例1、如图1，CD是⊙O的直径，A、B是⊙O上的两点，若∠ABD＝20°，则∠ADC的度数为（ ）． A、40° B、50° C、60° D、70° 分析：因为CD是⊙O的直径，所以∠CAD=90°，又因为圆周角∠ABD、∠ACD都对着弧AD，所以，∠ABD=∠ACD，所以，∠ACD＝20°， 因为∠ADC+∠ACD==90°，因此，∠ADC=70°。 解：选D。 2、已知圆周角求圆心角的大小 例2、如图2，已知∠ACB是⊙O的圆周角，∠ACB=50°，则圆心角∠AOB是（　　　）　A．40°?? B. 50°???C. 80°???D. 100° 分析：因为圆周角∠ACB和圆心角∠AOB都对着弧AB，所以根据圆周角定理可得：圆心角是弧上圆周角度数的2倍，所以，∠AOB=2∠ACB， 因为∠ACB=50°，所以∠AOB=100°。 解：选D。 3、已知圆心角求圆周角的大小 例3、如图3，已知圆心角∠BOC=124°、则圆周角∠BAC的大小是（　　）。 　A．50°　　B．62°　　　C．124°　　D．236° 分析：因为圆周角∠BAC和圆心角∠BOC都对着弧BC，所以根据圆周角定理可得：圆心角是弧上圆周角度数的2倍，所以，∠BOC =2∠BAC， 所以∠BAC =∠BOC=×124°=62°。 解：选B。 4、求两个圆周角的和 特点：通过构造同弧上圆周角与圆心角，利用圆心角与圆周角的关系定理去解决。 例4、如图，是⊙O的直径，点都在⊙O上，若， 则 o． 解：连接OC、OD、OE，根据圆周角定理， 则有：∠ADC =∠AOC，∠BEC =∠BOC， 所以， ∠ADC+∠BEC=∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC）=×180°=90°， 又因为∠ADC=∠BEC，所以，∠ADC=∠BEC=45°， 所以，∠C=∠ADC=∠BEC=45°， 所以，∠DOE=90°，所以， ∠A+∠B=∠BOD+∠AOE=（∠BOD +∠AOE）=（∠DOE+∠BOE +∠DOE+∠AOD） =（∠DOE+∠AOB）=（180°+90°）=135°。所以填135°。 圆中线段计算 1、求圆的半径 例1、如图1，在⊙O中，弦的长为cm，圆心O到AB距离为4cm，则⊙O的半径长 为（?? ） A．3cm????? B．4cm???? C．5cm???? D．6cm 解析：当知道圆的一条弦长和圆心到该弦的距离时， 常是作出这条距离，然后根据垂径定理、勾股定理，就可以求出圆的半径了。 如图2，连接OA，过点O作OC⊥AB垂足为C，根据垂径定理，得： AC=BC= cm，因为，圆心O到AB距离为4cm， 所以，OC=4 cm，在Rt直角三角形AOC 中，根据勾股定理，得：，所以，OA=5，即圆的半径为5cm，因此，选C。 例2、如图3，AB是⊙O的直径，BC是弦，OD⊥BC于E，交BC 于D． 若BC=8，ED＝2，求⊙O的半径． 解析：根据垂径定理可以知道线段EB的长，设出圆的半径，然后用半径表示出OE，这样就可以在Rt直角三角形OEB 中，根据勾股定理，就可以求出圆的半径了。 因为，OD⊥BC， 所以，BE＝CE=BC=4． 设⊙O的半径为R，则OE=OD-DE=R-2． 在Rt△OEB中，由勾股定理得 OE2＋BE2=OB2，即(R-2)2＋42=R2． 解得R＝5，∴⊙O的半径为5。 例3、如图4，内接于⊙O，，，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 解析：当知道圆的一条弦长和该弦所对的圆周角时，常是经过这条弦的一个端点，作出圆的一条直径，然后利用圆周角定理，把所有的已知条件都迁移到刚才所作的直径所对圆周角的直角三角形中，就可以求出圆的半径了。 如图5，过点B作圆的直径BD，交圆于点D，连接AD，，根据圆周角定理，得： ∠C=∠D=30°，∠DAB=90° 所以，在Rt直角三角形ADB 中，因为，∠D=30°，AB=2，所以，DB=4，所以，圆的半径为2cm，因此，选B。 2、求圆的直径 例4、如图，已知：△ABC是⊙O的内接三角形，AD⊥BC于D点，且AC=5，DC3，AB，则⊙O的直径等于 。 解析：这是一道值得探讨的好题。好在结论的获得有着不同的途径，也就是说，它是一道一题多解的命题。下面我们就介绍一种解法如下： 解：过点A作圆的直径AE，交圆O于点E，连接BE， 如图4，所示，在Rt直角三角形ADC