01 第一章 简谐振动与频谱分析.pptVIP

第一章 简谐振动与频谱分析 第一章 简谐振动与频谱分析 §1.1简谐振动的表示方法 一、简谐振动的三角函数表示法 二、简谐振动的矢量表示法 任意简谐振动可以用一个旋转矢量A来表示。 旋转矢量A在铅垂轴上的投影表示简谐振动，旋转矢量A的模就是简谐振动的振幅，它的旋转角速度就是简谐振动的圆频率。 速度、加速度也可以用旋转矢量表示。 三、简谐振动的复数表示法 三种表示方法各有特点： 三角函数 表示法形式简单，比较直观； 矢量表示法 几何意义十分明确； 复数表示法 便于分析计算。 四、简谐振动的合成 1、两个相同频率的简谐振动的合成 两个振动方向相同、频率相同的简谐振动合成的结果仍然是简谐振动，并且保持原来的简谐振动频率。 2、两个不同频率的简谐振动的合成 当两个简谐振动的频率比为有理数时，合成的结果为周期振动；当两个简谐振动的频率比为无理数时，合成的结果为非周期振动。 3、两个相互垂直方向的简谐振动的合成 §1.2周期振动的频谱分析方法 用复数形式表示傅里叶级数 根据欧拉公式： 令： 则有： 例1-2 图示的矩形脉冲在一个周期内可以表示为： 其中T为周期，t1为脉冲宽度。求x(t)的复数形式的傅里叶级数展开式，并画出t1=T/3时的频谱图。 §1.3 非周期振动的频谱分析方法 两个频率比为无理数的简谐振动进行合成，其合成的结果就是一种非周期的一般振动。 例1-3 求图示单个矩形脉冲的傅里叶积分，并作出频谱图。 解： 作业： * 目录 上页 下页 返回 结束 第一章 简谐振动与频谱分析 * 振动理论与测试技术88学时讲课教师 殷祥超 中国矿业大学 力学与建筑工程学院 力学与工程科学系 二○一○年八月 特点：（1）简谐振动是等幅振动。（2）是最简单的周期振动。 简谐函数 即：简谐振动的加速度大小与位移成正比，方向总是与位移方向相反。 简谐振动的位移、速度加速度 旋转矢量 旋转矢量 复数旋转矢量 复振幅 复数旋转矢量 以后若不加说明，即表示省略虚部符号 ，即 如果 两个相互垂直的简谐振动合成的轨迹图 频率比为整数倍时的李沙育图形 当 ，合成为李沙育图形 基频： 可取 ，或 傅立叶系数 表示周期振动的平均值； 是频率为 的简谐振动振幅； 为相位角。 周期函数的频谱图 相频谱图 幅频谱图 频谱分析 频域分析 例1-1已知矩形波如图所示，试作出谐波分析。 解：图示矩形波为周期性方波 计算傅氏系数： 矩形波 矩形波的傅氏级数为: 矩形波的振幅频谱图 考虑傅里叶级数前三项的影响 基频的谐波分量占主要地位，它的幅值最大。 在基频分量上迭加上三阶谐波分量得到的波形已逐渐接近矩形波。 若再迭加上五阶谐波分量，已近似于矩形波。 所以，用有限项谐波分量的迭加来近似周期振动，这将使分析简化。 an是n的偶函数，bn是n的奇函数，即： 用复数表示的傅里叶级数为： Xn为复数 偶函数 奇函数 用复数表示的频谱图中的谱线称为双边谱线，谱线的长度只有单边谱线的一半。 矩形脉冲 解： 因为 时 当 时， 相邻两条谱线之间的距离为 ，如果脉冲宽度不变，而周期 T 变得越来越大，谱线就会变得越来越密集。 矩形脉冲傅里叶谱图 有阻尼的衰减振动 矩形脉冲函数 非周期的一般振动不能应用傅里叶级数来作谱分析 一个一般函数可以用傅里叶积分表示，只要它是分段单调连续，而且是绝对可积的，即： 非周期振动函数 收敛 非周期振动函数 其中 令： 定义： 则有： 其中： 当 时， 得到: 傅立叶积分 傅立叶变换 傅立叶逆变换 若用频率 代替 ，则表示为： 傅立叶变换对 一个非周期振动可以表示成无穷简谐振动的叠加，这些简谐振动的频率不是离散分布，而是连续分布。 是 的复数函数 也称为 的频谱函数。 单个矩形脉冲 的频谱函数为： 的傅立叶积分为： 计算出频谱函数的值为：