同余问题的介绍及应用.doc

学院 学 术 论 文 题 目:同余问题的介绍及应用 More problems with the introduction and application 姓 名 所在学院 专业班级 学 号 指导教师 日 期 【摘要】简单地介绍同余的概念，以及其基本性质，并且其在数学史上的运用 Summary ： simply introduce the concept of, and the basic nature, and in the history of mathematics 【关键词】剩余类及完全剩余系 同余的基本运算 同余式以及同于方程组的解法 with keyword ： the rest of the class and all the rest of the department with the basic operation over with the same style and the solution of equations 引言 同余在我国很早就有应用，在古代它叫剩余定理。在我国古代劳动人民中，长期流传着“隔墙算”、“剪管术”、“秦王暗点兵”等数学游戏。有一首“孙子歌”①，甚至远渡重洋，输入日本： “三人同行七十稀，五树梅花廿一枝， 七子团圆正半月，除百令五便得知。” 这些饶有趣味的数学游戏，以各种不同形式，介绍世界闻名的“孙子问题”的解法，通俗地反映了中国古代数学一项卓越的成就。 “孙子问题”在现代数论中是一个一次同余问题，它最早出现在我国公元四世纪的数学著作《孙子算经》中。《孙子算经》卷下“物不知数”题说：有物不知其数，三个一数余二，五个一数余三，七个一数又余二，问该物总数几何？显然，这相当于求不定方程组 N=3x+2，N=5y+3，N=7z+2 的正整数解N，或用现代数论符号表示，等价于解下列的一次同余组： N 2(mod3) 3(mod5) 2(mod7)② 《孙子算经》所给答案是N＝23。由于孙子问题数据比较简单，这个答数通过试算也可以得到。但是《孙子算经》并不是这样做的。“物不知数”题的术文指出解题的方法：三三数之，取数七十，与余数二相乘；五五数之，取数二十一，与余数三相乘；七七数之，取数十五，与余数二相乘。将诸乘积相加，然后减去一百零五的倍数。列成算式就是： N＝70×2＋21×3＋15×2－2×105。 这里105是模数3、5、7的最小公倍数，容易看出，《孙子算经》给出的是符合条件的最小正整数。对于一般余数的情形，《孙子算经》术文指出，只要把上述算法中的余数2、3、2分别换成新的余数就行了。以R1、R2、R3表示这些余数，那么《孙子算经》相当于给出公式 N＝70×R1＋21×R2＋15×R3－P×105（p是整数）。 孙子算法的关键，在于70、21和15这三个数的确定。后来流传的《孙子歌》中所说“七十稀”、“廿一枝”和“正半月”，就是暗指这三个关键的数字。《孙子算经》没有说明这三个数的来历。实际上，它们具有如下特性： 也就是说，这三个数可以从最小公倍数M＝3×5×7＝105中各约去模数3、5、7后，再分别乘以整数2、1、1而得到。假令k1＝2，K2＝1，K3＝1，那么整数Ki（i＝1，2，3）的选取使所得到的三数70、21、15被相应模数相除的时候余数都是1。由此出发，立即可以推出，在余数是R1、R2、R3的情况下， 综合以上三式又可得到 因为M＝3×5×7可被它的任一因子整除，于是又有： 这里P是整数。这就证明了《孙子算经》的公式。应用上述推理，可以完全类似地把孙子算法推广到一般情形：设有一数N，分别被两两互素的几个数a1、a2、……an相除得余数R1、R2、……Rn，即 N≡Ri（modai）（i＝1、2、……n）， 只需求出一组数Ki，使满足 那么适合已给一次同余组的最小正数解是 （P是整数，M＝a1×a2×……×an），这就是现代数论中著名的剩余定理。如上所说，它的基本形式已经包含在《孙子算经》“物不知数”题的解法之中。不过《孙子算经》没有明确地表述这个一般的定理 在现代数学中，同余的概念是“两个整数a，b，若它们除以整数m所得的余数相等，则称a，b对于模m同余 　　记作 a ≡ b (mod m) “关于同余，它有许多的运算性质，其中最基本的是 性质1：a≡a