《数学分析》（欧阳光中）教学大纲精选.doc

《数学分析》课程教学大纲 Mathmatical analysis 课程基本信息 课程类别：专业基础课 课程学时：总学时300， 学分：18 适用专业： 大纲执笔者： 修订时间：2013年4月25日 二、课程教学目的 本课程是数学系数学与应用数学和数学教育各专业的专业基础课，其授课对象是该专业的本科一、二年级学生。《数学分析》的教学目的：使学生较系统地掌握《数学分析》的基础理论和基础知识，能熟练地进行基本运算，具有较强的分析论证和逻辑推理能力，具备一定解决实际问题的能力，培养创新意识，为学习后续课程打下基础。本课程的教学应注重基本概念、基本方法和基础理论的阐述，注重知识的系统性和完整性。 三、课程教学的基本要求 变量与函数 了解：常量与变量，无理数与有理数及其基本性质，三角不等式，双曲函数的概念及其性质。 理解：区间与邻域的定义，函数的几何特性（单调性、有界性、奇偶性，周期性）反函数的定义与性质，初等函数。 掌握：函数的定义，复合函数的定义与性质，基本初等函数的概念及其基本性质。 一元函数的极限与连续 了解：数列的变化趋势，函数值趋于无穷大的情形。 理解：无穷大（小）量，有界数列和单调数列的概念，无穷小量的性质与运算，单侧极限的定义，无穷小量和无穷大量的阶；单侧连续与区间连续的概念，函数间断点及其分类，基本初等函数的连续性及其初等函数的连续性。 掌握：数列极限定义、性质和运算；函数极限定义、性质和运算；海涅定理，重要极限；连续函数的定义、性质和运算；一致连续的定义，闭区间上连续函数的性质。 关于实数的基本定理及闭区间上连续函数性质的证明 了解：聚点定义与聚点定理，函数极限存在的柯西收敛准则。 理解：子列的定义及其基本性质，确界的定义，覆盖的定义。 掌握：实数的基本定理（确界定理，单调有界必有极限定理，闭区间套定理，致密性定理，有限覆盖定理，柯西收敛准则等）。闭区间上连函数性质的证明。 第四章 导数与微分了解： 了解： 速度与切线等实际问题的瞬时变化率。 理解：单侧导数与区间可导的定义，导函数及其几何意义，反函数的导数，微分的运算法则，不可导之例，高阶微分。 掌握：导数的定义，基本初等函数的导数，求导法则（四则运算，复合运算），微分的定义，隐函数与参数方程表示函数的求导法，高阶导数及其莱布尼兹公式。 第五章 微分基本定理及导数的应用 了解：利普希茨条件，指数函数、三角函数、对数函数、幂函数的马克劳林展开式，平面曲线的曲率及计算，方程的近似解（切线法）。 理解：利用微分求近似值及其误差估计，泰勒公式与马克劳林公式及其余项，渐近线，描图，弧长微分。 掌握：微分中值定理（费马、罗尔、拉格朗日，柯西等定理）及其证明和应用，函数的单调性、凸性与极值，用洛比塔法则求待定型的极限。 不定积分 了解：原函数的存在性。原函数的结构及其几何意义。 理解：原函数、不定积分的概念，含 因子的换元变换、含 因子的欧拉变换与三角函数的万能变换。 掌握：基本积分公式及线性运算法则，换元积分法、分部积分法，有理函数积分法，无理函数有理式与三角函数有理式的不定积分之求法。 第七章 定积分 了解：区边梯形面积之近似求法，变速直线运动路程之近似求法，按定义计算定积分，椭圆积分，周期函数之积分性质。 理解：达布上和与下和的定义及性质，达布定理 ，定积分存在的第一充要条件，变上限函数与性质，奇、偶函数在对称区间上的积分性质，将有限和式转化为定积分之计算方法。 掌握：定积分的定义，可积的必要条件，振幅的概念及可积的充要条件及定积分存在的第二充要条件，可积函数类及定积分的性质，第一积分中值定理，牛顿—莱布尼兹公式及其利用此公式计算定积分，定积分换元积分法、分部积分法。 第八章 定积分的应用和近似计算 了解：光滑曲线，定积分的近似计算。 理解：微元法，弧长公式，已知截面面积求体积，质心、平均值、变力作功。 掌握：平面图形的面积之求法（直角坐标系、参数方程、极坐标等表示之图形），平面曲线的弧长之求法，旋转体的体积与侧面积之求法。 数项级数 了解：上（下）极限定义与相关性质，阿贝尔变换及其性质，黎曼定理、柯西乘积与性质，无穷乘积的概念及其性质与收敛性判断。 理解：收敛级数的性质，积分判别法，阿贝尔与狄里克里判别法，绝对收敛级数和条件收敛级数的性质。 掌握：无穷级数收敛与发散的定义，几何级数之敛散性，级数收敛的柯西收敛原理，收敛的必要条件，正项级数收敛的充要条件，比较、柯西、达朗贝尔判别法及其极限形式，p-级数之敛散性，绝对收敛和条件收敛及交错级数之敛散性的判断。 第十章 广义积分 了解：广义积分的柯西主值。 理解：无穷积分的敛散性，无穷积分的性质，绝对收敛和条件收敛的概念，无穷积分与数项级数的关系，阿贝尔与狄里克里判