有限元方法-04概要.pptVIP

2.待定边界泛函的变分问题 变分与定解的微分方程 求泛函极值的方法，即从试探解中挑选正确解的数学方法 泛函极值（单一自变量） 欧拉方程及边界条件 N个宗变量的泛函极值，欧拉方程推导 含有二阶以上导数的泛函极值，欧拉方程推导 是下次课的基础 2.待定边界泛函的变分问题 变分法的优点 1.求泛函的极值问题与求解微分方程的边值问题是等价的，也可以称为变分定理 2.大多数实际问题，泛函都具有明显的物理意义 3.与控制微分方程相比，泛函中出现的场变量的导数阶数较低，因而放松对场变量的要求，因此扩大了求解空间 4.变分法允许把一些复杂的边界条件处理成自然边界条件。几何边界条件满足则自然边界条件自动满足 3.弹性力学的基本方程 1.平衡方程-应力与外力的关系 2.几何方程-应变与位移的关系 3.物理方程-应力与应变的关系 4.边界条件 3.弹性力学的基本方程 3.弹性体的基本假设 1.物体内的物质无空隙，可用连续函数描述 2.物体内各个位置的物质具有相同特性 3.物体内同一位置的物质在各个方向上具有相同特性 4.物体变形与外力作用关系为线性，外力去除后，物体可恢复原状 5.物体变形远小于物体的几何尺寸，在建立方程时，可忽略高阶小量（二阶） 3.1平衡方程-应力与外力的关系 3.1平衡方程-应力与外力的关系 3.1平衡方程-应力与外力的关系 三维应力平衡方程可写做下面的形式 3.2几何方程-应变与位移的关系 弹性体在载荷作用下，体内任意点都将产生位移，有三个分量u、v、w，由于物体的连续性，相邻各点间位移是相互制约的，本节主要推导位移分量和应变分量之间的几何关系 弹性体变形包括体积变形和形状变形两部分 3.2几何方程-应变与位移的关系 3.2几何方程-应变与位移的关系 三维问题的几何变形方程 3.2几何方程-应变与位移的关系 对于三维问题，位移u、v、w确定时，则六个应变分量完全确定，反之则不能，原因是位移由两部分组成，一是物体的变形，与应变有关；二是同变形无关的刚度位移 3.3物理方程-应力与应变的关系 在线形弹性力学中，弹性体的应力与应变关系表示为广义虎克定律。 根据虎克定律，弹性体任何一点上6个应力分量中的每一个分量都可以表示成6个应变分量的线性函数 反之，也可以将6个应变分量表示成6个应力分量的线性函数 3.3物理方程-应力与应变的关系 由于互等定理，弹性常数应满足对称性，在各向异性的最一般情况下，独立的弹性常数只有21个 各向同性材料，只有两个独立的弹性常数，分别为杨氏模量和泊松比 3.3物理方程-应力与应变的关系 三维问题的物理方程 3.4 边界条件 边界条件可分为两部分，在弹性体表面S1上，已知外力，称为力边界条件 在S2上已知弹性体的位移，称为几何边界条件 S=S1+S2 3.4 边界条件-力边界条件 力边界条件 3.4 边界条件-力边界条件 三维问题的平衡方程 3.4 边界条件-几何边界条件 在S2上弹性体位移已知为u1、v1、w1，则有 u=u1 v=v1 w=w1 on S2 4.虚功原理 虚功原理 是虚位移原理和虚应力原理的总称，下面将分别 介绍 虚功原理求解问题的顺序 弹性体-平衡力系-协调条件-外力与内力虚功之 和为零 4.虚功原理-虚位移原理 虚位移原理 在外力作用下处于平衡状态的弹性体，发生约束允许的任意微小的虚位移时，外力在虚位移上所做的功等于弹性体内应力在虚应变上所做的功 Wext=Wint 虚位移原理所述的虚位移可以理解为位移的变分 4.虚功原理-虚位移原理 虚位移 是假想加到弹性体上的微小位移，而且是约束所允许的满足几何边界和位移连续条件的位移。而“微小”是指在发生虚位移过程中，力系处于平衡状态，各力幅值不变，作用线不变 虚功 在发生虚位移过程中，平衡力系中真实力所做的功，如主动力做功而支点反力不做功，因为虚位移为零 刚体 应变恒为零，因此应力在虚应变上不做功 4.虚功原理-虚位移原理 虚位移原理推导 由平衡方程推导出虚位移原理 如果力系是平衡的，则它们虚位移上所做的功总合为零 反之，如果力系在虚位移上所做之功的和为零，则一定满足力系平衡。 4.虚功原理-虚位移原理 可以由虚位移原理得到弹性体在外力作用下的平衡方程和力学边界条件 在推导虚位移原理过程中，没有涉及物理方程（应力-应变关系），因此，它不但适用于线形，也适用于非线形及塑性力学 4.虚功原理-虚应力原理 如果弹性体在外力作用下平衡，如果同时位移是协调的（即在内部满足几何方程，在给定的边界上等于给定位移），则虚应力（在内部满足平衡方程，在给定外力边