高阶常微分方程知识小结.docVIP

一般线性微分方程理论 ? ? n 阶标量的实系数线性微分方程 , 在变换 下，化为 n 维矢量 x 的微分方程 , 其中是 n 阶实连续函数方阵，, ,; 的其余元素全为零. 是实连续函数矢量. ? ? 因此，利用 n 维矢量的线性方程一般理论给出标量的 n 阶线性微分方程的相应结论. (存在唯一性)定理1?　若 , , 和 在 上连续，则对任何 及 n 个数 ，n 阶方程存在唯一满足初始条件 ，, 的解 ，它在区间 上有定义. 一、齐线性方程? ? 1．定理2(叠加原理)?如果 , , 为齐次方程的 k 个解，则对任给的常数 , ，线性组合 也是齐次方程的解. ? ? 2. 对于定义在区间 上的 n 个函数 ，. 如果存在 n 个不全为零的常数 ,, 使得在 上它们的线性组合 ，则称这 n 个函数在 上线性相关，否则就称它们线性无关. ? ? 3. 设 , , 是 n 个在 上 次连续可微的函数，那么行列式，(, .)称为这些函数的朗斯基行列式 (Wronskian),朗斯基行列式的值记作 . ? ? 定理3?如果函数 , . 在 上线性相关，则在 上它们的 Wronskian 的值 . ? ? 定理4?如果 n 阶齐次方程的解函数 , , 在 上线性无关，则它们的 Wronskian 在 上无零点. 且满足关系式: . ? ? 定理5? n 阶线性齐次方程存在 n 个实的线性无关解. ? ? 定理6? 如果 ,, 是 n 个实的线性无关解，则它的通解为线性组合 ，其中, , 为任意实常数；而且这个通解包含了一切解. ? ? 推论: ?n 阶线性齐次方程的线性无关解的最大个数为 n. 于是 n 阶线性齐次方程的解集构成一个 n 维实线性空间. 我们称任何 n 个实的线性无关解为它的一个基本解组. 、非齐线性方程 ? ? 命题 1?　若 为非齐次方程的解， 为对应的齐次方程的解，则为非齐次方程的解. ? ? 命题 2?　若 和 都是同一个非齐次方程的解，则差 为对应的齐次方程的解. ? ? (非齐次方程的通解结构)定理 ? 设 为非齐次线性方程的任一特解, 设 , 为对应的齐次方程的基本解组，则非齐次方程的通解为 , 其中 , 为任意常数. 且该通解包含了方程的一切解. ? ? 常数变易公式:? 设已知非齐次方程所对应的齐次方程的基本解为 , , 则非齐次方程的一个特解 可以表示为积分: ， 其中 常(实)系数线性方程 一、常(实)系数线性方程 ? ? 讨论 n 阶常(实)系数线性齐次微分方程 . ? ? 定义:? 记的多项式, 称 为方程的特征多项式，特征多项式 的根称为方程的特征值. 设 , ，为 的 n 个特征值(相同的根重复计算)，则 . ? ? 定理:? 方程的基本解组由以下 n 个解组成: ? ? 若 是特征多项式的 k 重根, 则： ? ? 当 时, 有形如 ,, , 的 个解. ? ? 当 时, 有形如 , , 的 k 个解. 二、欧拉方程 ? ?　所谓 Euler 方程就是如下的线性齐次方程 , 其中 均为实常数. ? ?　解法是: 写出如下关于 的 n 次方程(称为 Euler 方程的指数方程 (indicial equation): . 求出它的所有的根, 若 是 k 重虚根, 则有 个解, , ; . 若 是 k 重实根, 则有 k 个解 , ; ? ?　这样一共可得 n 个线性无关实解, 即基本解组.(注意, 若 时 有意义, 则可将解中 的绝对值号去掉, 对 也一样). 三、常系数线性非奇次方程求特解的比较系数法 ? ? 对于一般的常系数线性非齐次方程, 我们都可以用常数变易公式求特解. 但是对于一类特殊的非齐次项, 有简单的特殊方法求特解. ? ?　这类非齐次项有如下一般形式: , 其中 和 均为 t 的实系数多项式， 是实常数. 由 Euler 公式： , 这种非齐次项总可以写成某个复值函数 的实部，其中 ，是 t 的复系数多项式. 实际上， . ? ?　由于我们有定理：若复值函数 是实常系数线性非齐次微分方程 的解，则复值函数的实部 是方程 的解. ? ?　因此，我们可以只考虑非齐次项为如下的拟多项式，(其中，是 t 的 m 次多项式)的方程 . ? ?　解法: 设 为 t 的系数待定的 m 次多项式，若 为 (它也称为非齐次方程的特征方程)的 k 重根, 则特解有形式 , (若 不是特征方程的根，取 , 即 , 若 , 则 . 将 代入方程, , 两边消去 得 , ? ?　通过比较方程两边多项式同次幂的系数求出待定的系数即得特解 z. 当是虚数时, 是原方程的一个特解; 当 是实数时, 取 z 为 x 即可. 这就是所谓的比较系数法. 高阶方程的降阶法