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数学物理方法考试试题1
课程试卷库测试试题（编号：1 ）
一、判断题（对的打“√”，错的打“×”，共5题，每题4分）
在复数领域，的周期是。（ × ）
柯西一黎曼方程是复变函数可导的充分条件。（ × ）
设的傅里叶变换的像函数是，则的傅里叶变换的像函数是。（ √ ）
在推导均匀弦的微小横振动方程时，如果我们假定弦是柔软的，那么弦中张力必沿弦的切线方向。（ √ ）
在波动方程的定解条件中，初始条件只有一个。（ × ）
二、填空题（共5题，每题4分）
1、的模为
2、在的领域，函数的洛朗展开式为：
3、的拉普拉斯变换函数为
4、若的傅里叶变换为，则的傅里叶变换为
5、均匀弦的微小横振动的波动方程可写为
三、选择题（共5题，每题4分）
关于函数的极点和留数问题，正确的说法是（ 4 ）
阶极点，留数为1。（2）阶极点，留数为。
（3）单极点，留数为。（4）单极点，留数为。
回路积分的值为（ 4 ）
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ， ⑷ 0。
函数的拉普拉斯变换像函数为（ 4 ）
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ， ⑷ 。
拉普拉斯像函数为，则原函数为（ 1 ）
⑴ ， ⑵ ， ⑶ ⑷ 。
偏微分方程属于（ 3 ）
⑴ 弦的横振动方程， ⑵ 杆的纵振动方程，
⑶ 一维扩散方程或一维热传导方程， ⑷ 拉普拉斯方程。
四、计算题（共2题，每题10分）
1、计算回路积分，的方程是。
解：方程可化为，它是一个以 为圆心，为半径的圆。
被积函数，它有两个单极点，和一个二阶极点,但不在积分回路之内，只有和在积分回路之内，它们的留数为：
计算幂级数的收敛半径。
解：
五、综合题（共1题，每题20分）
1、对于两端固定的均匀弦的自由振动，定解问题为
试由分离变量法求解上述定解问题的解。
解：令
代入波动方程，并利用边界条件，我们有
公式（2）构成本征值问题，本征值为：，
本征函数为，由公式（3），有：
方程的解为：，
这样我们得到本征振动解为：
一般解为：
利用初始条件，我们有：
根据傅里叶变换公式，我们有：
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