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数理 浅谈均值不等式的教学 岳阳县第四中学 杨伟 均值不等式是高中数学新教材第六章教学的重点，也是难点，它是证明不等式、解决求最值问题的重要工具，它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节;它也是高考的热点,且常考常新。下面就均值不等式的应用及需要注意的几个问题举例说明 一、均值不等式的应用 （一）、通过特征分析，用于证不等式 　　均值不等式：　　1) a2+b2≥2ab = ab +ab (a,b∈R)　　 2) a+b ≥2=+ (a,b∈R+)　　两端的结构、数字具有如下特征： 　　1)次数相等； 2)项数相等或不等式右侧系数与左侧项数相等； 3)左和右积。 　　当要证的不等式具有上述特征时，考虑用均值不等式证明。 　　例1．已知a，b，c为不全相等的正数，求证：a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc. 　　分析：观察要证不等式的两端都是关于a，b，c的3次多项式，左侧6项，右侧6项，左和右积，具备均值不等式的特征。 　　证明:∵ b2+c2≥2bc, a0, ∴ a(b2+c2)≥2abc 　　同理，b(c2+a2)≥2bac, c(a2+b2)≥2cab, 又 ∵a，b，c不全相等， 　　∴ 上述三个不等式中等号不能同时成立，因此 　　a(b2+c2)+b(c2+a2)+c(a2+b2)6abc。 （二）、抓条件“一正、二定、三等”求最值 　　由均值不等式（2)，推证出最值定理及其使用的前提条件： “一正、二定、三相等”，求最值时，三者缺一不可。 例2. 已知x, y∈R+且9x+16y＝144，求xy的最大值。 　　分析：由题设一正：x, y∈R+，二定: 9x+16y＝144。求积的最大值，可考虑用均值不等式求解。 　　解：∵ x, y∈R+ ， 　　∴ xy =×9x×16y≤()2　×=36 当且仅当9x=16y，即x=8,y=9/2时，(xy)max=36. 　 例3　某商品进货价为每件元，据市场调查，当销售价格每件元（≤≤）时，每天销售的件数为，若想每天获得的利润最多，则销售价为多少元？ 解： 由题意：利润 ，∵ ≥，∴≥， ∴≤，当且仅当， 即 或 （不合题意舍去）. 答：当售价为60元时，每天获得的利润最多为2500元 （三）、抓“当且仅当……等号成立”的条件，实现相等与不等的转化 　　在均值不等式中“当且仅当……等号成立”的“当且仅当”是“充要条件”的同义词，它给出了相等与不等的界，是相等与不等转化的突破口。 　　例4．在ΔABC中，若三边a，b，c满足条件(a+b+c)3=27abc，试判定三角形ABC的形状。 　　分析：(a+b+c)3=27abc，具有三元均值不等式的结构特征，且属均值不等式的特例(取等号情形)，所以有下面解法。 　　解：∵a0, b0, c0，故有不等式a+b+c≥3 （见阅读材料），即(a+b+c)3≥27abc，当且仅当a=b=c时，上式等号成立，故三角形为等边三角形。 　　例5．已知x,y,z为正实数，且x+y+z=3, + + =3 . 求x2+y2+z2的值。 　　解：由题设得 (x+) + (y+) + (z+)=6 　　∵ x,y,z0, ∴, x+≥2 , y+ ≥2 , z+ ≥2　　∴. (x+) + (y+) + (z+)≥6　　此不等式等号成立，当且仅当上述三个不等式的等号同时成立，即 　　x= , y= , z= ∴x2=1,y2=1, z2=1, ∴x2+y2+z2=3. 　　说明：均值不等式给出了相等、不等的界，即等号成立的条件。 　　总之，均值不等式成立的条件，结构特征，积、和为定值，等号成立的条件，是理解应用均值不等式的认知角度。同学们要学会观察已知和未知的结构特征、数字特征，认清其区别、联系，联想相关的知识点、方法，寻找解决问题的突破口。 二、需谨防的几个误区 （一）、忽视定理成立的前提条件 例6. 求函数y=的最值。 错解：y===13+x+≥13 + 2=25 当且仅当x =即时取等号。 所以当时，y的最小值为25，此函数没有最大值。 分析：函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞)，上述解题过程中应用了均值不等式，却忽略了均值不等式成立的条件，因而导致错误。 正解：函数y=的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞) y===13+x+ 当时，x+≥2 =12 当且仅当x =即x = 6时取等号。 所以当x=6时，ymin =25 当x＜0时，-x＞0,-＞0 因为 (-x)+(-)≥2=12 当且仅当-x=-即时