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加强题组教学，提高学生能力 曲阜师范大学附中：李爱清 学习数学离不开解题，而解好一道数学题，需要有扎实的基础知识，清晰的思维过程，灵活的思维方法。加强题组教学是巩固基础知识，培养学生良好思维品质，提高解题能力的有效方法之一。下面举例说明。 例1　过点P（1，2）作直线L，与坐标轴围成的面积为，求此直线L的方程。这是一道课本习题，其解法如下： 解：设L的方程为， ∵直线过点P（1，2）， ∴， ∴， ∴ ∴或者 ∴所求直线方程为： 即：x-y+1=0或4x-y-2=0。 为了巩固这一类型的题目，给学生以下题阻（只改变面积的值）。 1．若过P（1，2）点的直线与坐标轴围成的面积为4，求直线方程。 2．若过P（1，2）点的直线与坐标轴围成的面积为，这样的直线有多少条？ 解：①设所求直线方程为，由于直线过P（1，2）点， ∴ ∴ ， ∴ ∴b=4或,a=2或 ∴所求直线方程为 ②设所求直线方程为， 由题意知 ∴b=8或。 因此这样的直线有四条 评注：由于上述面积值的改变，不仅直线方程发生了改变，更重要的是直线的条数发生了改变，当 s=时对应的直线有两条，当s=4时对应的直线有三条，当s=时对应的直线有四条。不禁想到s在什么范围内，这样的直线有两条、三条、四条，于是有下面的题组： 3．若过P（1，2）点与坐标轴围成的面积为S的直线有两条，求面积S的范围； 4．若过P（1，2）点与坐标轴围成的面积为S的直线有三条，求面积S的范围； 5．若过P（1，2）点与坐标轴围成的面积为S的直线有四条，求面积S的范围。 解：设直线l方程为 ，∴， ∴，由题意知 当b﹥2时，即，① 当b﹤2时，，即，② 可以知道当b﹤2时，有两个不同的b值。 因此：当时，有两条这样的直线， 当 时，有三条这样的直线， 当 时，有四条这样的直线。 评注：有了以上一组题目，学生不仅对不同的面积值，求直线方程的问题进行了巩固，同时对面积为何值时，对应的直线方程有两条、三条、四条的问题也全面掌握，从解方程到方程有几解；由多角度思维（不同的面积值）的解题结果到逆向思维（面积为何值时，直线有两条、三条、四条），使学生既巩固了知识，又拓宽了视野，更重要的是训练了思维，达到了举一反三、融会贯通的目的，起到了事半功倍的教学效果。 例2 在椭圆上求一点，使得它与两焦点的连线互相垂直。 1.多角度思维，解法如下： 解法一：椭圆的焦点为（-5，0），（5，0）。 设P（x,y）为椭圆上一点，由于， ∴， 两式联立得： ∴满足条件的点有四个，分别为（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）。 解法二：设P（x,y）为满足条件的点， 则， 而即 联立得： ∴满足条件的点有四个，分别为（3，4），（3，-4），（-3，4），（-3，-4）。 解法三：∵，∴P在以为直径的圆上，因此满足条件的点P是以为直径的圆与椭圆的交点。 圆的方程为 联立得 因此P点坐标为(3，4)，（3，-4），（-3，4），（-3，-4）. 2．发散性思维 由解法三可知，对不同的椭圆（a﹥b﹥0,）,满足条件的点P的个数不同，P点个数即为以为直径的圆与椭圆的交点个数，而交点个数应该由b与c的大小确定：如果b﹥c，则圆在椭圆内部，圆与椭圆没有交点，满足条件的点不存在；如果b=c，则椭圆与圆恰巧有两个交点，分别为短轴的两端点；如果b﹤c，则圆与椭圆有四个交点，所以满足条件的点有四个，以上思考过程完成了从特殊到一般，从具体到抽象的过渡. 像以上的例子很多，只要善于挖掘，对很多课本的例题习题及概念都可做到举一反三，融会贯通，既能巩固基础知识，又能拓展知识空间，训练思维，提高能力，同时使得学生不再认为课本是枯燥无味的，也培养了学生多种思维品质，收到事半功倍的教、学效果。