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递推法在解决高考压轴题题中的应用 黄 剑 （东台市安丰中学 江苏 东台224221） 压轴题在高考题中起着举足轻重的作用，对考生的阅读理解能力、综合分析能力、应用数学知识解决物理问题能力等多项能力有考查功能，对中学物理教学、培养学生科学素养及全面推进素质教育具有作用。M的雪橇静止在水平雪地上，一条质量为m的爱斯基摩狗站在该雪橇上。狗向雪橇的正后方跳下，随后又追赶并向前跳上雪橇；其后狗又反复地跳下、追赶并跳上雪橇，狗与雪橇始终沿一条直线运动。若狗跳离雪橇时雪橇的速度为V，则此时狗相对于地面的速度为V+u(其中u为狗相对于雪橇的速度，V+u为代数和。若以雪橇运动的方向为正方向，则V为正值，u为负值)。设狗总以速度v追赶和跳上雪橇，雪橇与雪地间的摩擦忽略不计。已知v的大小为5m/s，u的大小为4m/s，M=30kg，m=10kg. （1）求狗第一次跳上雪橇后两者的共同速度的大小。 （2）求雪橇最终速度的大小和狗最多能跳上雪橇的次数。 （供使用但不一定用到的对数值：lg2=0.301，lg3=0.477) 解：（1）设雪橇运动的方向为正方向，狗第1次跳下雪橇后雪橇的速度为V1，根据动量守恒定律，有 狗第1次跳上雪橇时，雪橇与狗的共同速度满足 可解得 将代入，得 （2）设雪橇运动的方向为正方向，狗第（n－1）次跳下雪橇后雪橇的速度为Vn－1，则狗第（n－1）次跳上雪橇后的速度满足 这样，狗n次跳下雪橇后，雪橇的速度为Vn满足 解得 狗追不上雪橇的条件是 Vn≥ 可化为 最后可求得 代入数据，得 狗最多能跳上雪橇3次 雪橇最终的速度大小为 V4=5.625m/s。 例题2（2007年江苏高考19题）如图所示,一轻绳吊着粗细均匀的棒,棒下端离地面高H,上端套着一个细环.棒和环的质量均为m,相互间最大静摩擦力等于滑动摩擦力kmg(k1).断开轻绳,棒和环自由下落.假设棒足够长,与地面发生碰撞时,触地时间极短,无动能损失.棒在整个运动过程中始终保持竖直,空气阻力不计.求： (1)棒第一次与地面碰撞弹起上升过程中,环的加速度. (2)从断开轻绳到棒与地面第二次碰撞的瞬间,棒运动的路程s. (3)从断开轻绳到棒和环都静止,摩擦力对环及棒做的总功W. 解析 (1)设棒第一次上升过程中,环的加速度为a环 kmg-mg =ma环 得a环=(k-1)g,方向竖直向上 (2)设以地面为零势能面,向上为正方向,棒第一次落地的速度大小为v1. 由机械能守恒得：=2mgH 解得v1= 设棒弹起后的加速度a棒 由牛顿第二定律a棒=-(k+1)g 棒第一次弹起的最大高度H1=- 解得H1= 棒运动的路程s=H+2H1= (3)棒第一次弹起经过t1时间,与环达到相同速度v1′ 环的速度v1′=-v1+a环t1 棒的速度v1′=v1+a棒t1 环的位移h环1=-v1t1+a环t12 棒的位移h棒1=v1t1+a棒t12 x1=h环1-h棒1 解得：x1=- 棒环一起下落至地 v22-v1′2=2gh棒1 解得：v2= 同理,环第二次相对棒的位移 x2=h环2-h棒2=- …… xn=- 环相对棒的总位移 x=x1+x2+……+xn+…… W=kmgx 得W=- 或解：设环相对棒滑动距离为l 根据能量守恒mgH+mg(H+l)=kmgl 摩擦力对棒及环做的总功 W=-kmgl 解得W=- 例题3（2010江苏高考15题）制备纳米薄膜装置的工作电极可简化为真空中间距为d的两平行极板，如图甲所示，加在极板A、B间的电压作周期性变化，其正向电压为，反向电压为，电压变化的周期为2r，如图乙所示。在t=0时，极板B附近的一个电子，质量为m、电荷量为e，受电场作用由静止开始运动。若整个运动过程中，电子未碰到极板A，且不考虑重力作用。 （1）若，电子在0—2r时间内不能到达极板A，求d应满足的条件； （2）若电子在0—200r时间未碰到极板B，求此运动过程中电子速度随时间t变化的关系（3）若电子在第N个周期内的位移为零，求k的值。 . 解析：（1）电子在0~τ时间内做匀加速运动 加速度的大小 a1= 位移 x1=a1τ2 在τ－2τ时间内先做匀减速运动，后反向做匀加速运动 加速度的大小 a2= 初速度的大小 v1=a1τ 匀减速运动阶段的位移 x2= 依据题意 dx1+x2 解得d （2）在2nτ~(2n+1)τ,(n=0,1,2, ……,99)时间内 加速度的大小 a′2= 速度增量 △v2=-a′2τ (a)当0≤t-2nττ